The Notation of Polyphonic Music 4-0 900-1600 Apel

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p145 IV PROPORTION A History and Terminology proportionsの使用は、すなわち、音律的音価の減少と増加についてであるが、15〜16世紀のフランドル音楽の特徴である。しかしその歴史は、かなり早期に遡る。このメソッドの最初の痕跡は、ペロタンの時期のclausulaeにまで辿られる。そこでは、典礼的メロディがテノールに2回出現し、2回目は最初のものから半分になったり、2倍になったりしている（p245参照）。その過程は、マショーのモテットのテノールにも通常、見られる。そこでは、テノールの2番目のセクションは、最初のメロディの半分の音価で繰り返し、それぞれ、longがbreveに置き換わったりしている。14世紀後半の原則になると、音価の減少を示すべき進化として、実際に細かい音価を使うのではなく、縮約のある種の記号を使うようになった。これが、proportion固有の基礎である。 　proportionのもっとも初期の言述は、Libellus cantus mensurabilis secundum Joh. de Muris (CS I1I， 58)において見られる。それは、14世紀の論文であり、diminutio（すなわち、dupla)について論じている。proportionsは、Prosdocimus de BeldemandisのTractatus practice de musica mensurabili ( 1408年）.において、より多く説明されている。彼はproportio dupla ，tertia ， sesquialtera ， sesquiterlia ,dupla sesquiquartaについて述べ、これらの定義の記号を示している。 Guilelmus Monachusは、De preceptis artis musice libellus ， ( 1460年頃)において、非常に進んだやり方において、全体のシステムを説明している。そして、多くの例を持って示している。この主題は、1480年頃に書かれたTinctorisのProportionale musicesや、1497年のミラノのGafuriusのPractica musicaeで語りつくされている。 この時代、proportionsの理論は、この領域での実際の適用をはるかに超えていた。たとえば、Gafuriusは、9：23などという割合での縮約を提案さえしている。言うまでもなく、理論的な誇張された音価は疑わしく、実際の音楽を反映していない。 ｐ146 　proportionの全体的なシステムの数学的な基礎は、論文上は、ボエチウスまで遡る。彼の教えにしたがって、15世紀後半の理論家たちは、proportionを５つの種類にわけている。すなわち・・・ 　 �@genus mulliplex， �Agenus superparticularc， �Bgenus superpartiens， �Cgenus mu!tiplex superparticulare �Dgenus multiplex superpartiens 近代の算術用語で言えば、第１分類（genus)�@は、分母との整数比となっている。すなわち、proportio dupla= 2：1　tripla=3：1　quadrupla=4：1 etc,となる。 第２分類�Aは、分母より大きい分子の整数比によっている。ラテン語の用語で言えば、こうした比は、sesqui-(semique-)の接頭辞によって示される。実際には、sesqui N = (N+1) / Nとなる。(訳注；sesquiなんちゃら参照)。　1+1/2=3/2。　-altera, -tertia, -quarta等の接尾語においては、したがってそれは、比3/2,　4/3（1+1/3),　5/4(1+1/4)などで示される。 第３分類�Bは、分子が、分母よりも２，３、あるいはそれ以上大きい比を含んでいる。たとえば、，proportio superbipartiente tertiasは、分母が３（tertias)で、分子は分母より２多く、したがって、5（3+2）/3の比を意味する。同様に、proportio super triparfiente quintasは、その比は8/5となる。 第4分類�Cの比においては、第１と第２の組み合わせにおいて、分子は、１が加わる前に、与えられた数によって増えなければならない。たとえば、，proportio tripla sesquitertiasは、分子３（tertias)が３（tripla)倍化され、１（sesqui-)加えられた比を意味し、すなわち、10（3×3+1)/３となる。同様に、proportio quadrupla sesquiquintaは、21(4×5+1）/5となる。 最後の第5分類�D（第１，３の組み合わせ）においては、乗数化の同様の過程が、第3分類のproportionに対して適用される。たとえば、proportio dup!a supertripartiente quartaは、分母が4（quartas)であり、分子は4×2+3=11となり。それゆえ、比は11/4となる。逆比は、接頭語sub-で示され、たとえば、proportio　subdupla supertripartiente quartasでは、4/11となる。 p147 　こうした算術的proportionsは、ある種の割合の音価の減少、あるいは増加への計量記譜法において用いられている。p191で説明しているように、全体の計量記譜法のシステムは、固定化した、すなわち変化しない時間単位、tactusの原理に基づいている。これは、比較的ゆっくりのスピードの拍であり、uniform pulseのように、この時代の音楽に普及していた。 tactus（ｔ）は、通常、Sであらわされ、S=tである。その他の音符との関係では、乗除され、たとえば、[3,2]ではB=3t,M=1/2t　などとなる。 さまざまな音符のこうした通常の音価は、integer valorと呼ばれている。音符がproportionにおいて出現すると、その音価は、proportionによって指示されたinteger valorの部分、あるいは乗数となる。 奇異ではあるが、proportionsは、それが指示する正確に逆の意味において、計量記譜法において使われる。たとえば、proportlo dupla (2/1) tripla(3/1)は、多重化を意味するのではなく、２または３の音価の分割を示している。言い換えれば、より大きい比で示されるすべてのproportionｓは、縮約されるのである。たとえば、proportio dupla2/1のSの音価は、1/2tに等しく、その間、proportio sesquialtera3/2のperfect Bの音価は、３ｔの2/3＝2tとなる。 　こうした計算が、単にdemonstrationのためにものだけであることは、言うまでもない。音楽的な例にとって、単一音符よりもむしろ、音符の適度なグループが考慮されるべきである。一般原理は、以下のように公式化される。 記号m/nで示されるproportionにおいて、integer valorのn個のSはm個のSに等しい。たとえば、以下の例のように。この例で、記号4/3に続く４つの音符は、integer valorの３つのSと同様の時間スペースを占めている。すなわち、(4つのproportionと）同じ時価は、proportionに先立つ（integer valorの）３つの音符によって使われる。同様に、proportio duplaあるいはtriplaにおいて、proportionの２つまたは３つのSは、integer valorのひとつに等しくなる。 こうした事実は、5/3や3/1のようなproportionの記号において、分母が、記号（integer valor）に該当し、分子がproportionに該当することが理解されればよい。 　今説明されたシステムの比率を示す記号に加えて、ある種の特殊なシンボルが、もっとも単純なproportionのために使われた。Proportio duplaはまた、diminutioあるいはdiminutio simplexとも呼ばれ、通常、等のシンボルが使われる。proportio triplaは、等として示される。1400年頃のある初期のソースでは、以下のmodificationがproportio duplaとして使われた。 　二重、三重のproportionは、もっとも頻繁なだけでなく、もっとも難しいものでもある。なぜならそれらは、一般的な多くの特徴を持っており、その接続における一般原則を説明すべきだからである。 p148 B. PROPORTIO DUPLA AND TRIPLA IN GENERAL 　以下の方程式は、tempus imperfectum あるいはtempus perfectumについての、こうしたproportionの適用への基礎として考えられるだろう。 方程式は、Ｓの連続としてのtranscriptionのための以下のスキームを導く。 ２つのinteger valor‐計量法において、tactusは、Ｓに当たり、proportionsにおいて、それは、２つまたは３つのＳemibrevesに当たる。言い換えれば、ひとつの（imperfectあるいはperfect) breveである。integer valorが、16世紀のイタリアの理論家たちによって、alla semibreveと呼ばれたのは、こうした理由による。この記号Ｃは、記号とともに、今日まで存在し、proportional systemの最後の痕跡となっている。（Music in the Middle Age Chapter12参照） 　（２）と（３）の場合においては、Ｓのグルーピングに関する矛盾が存在する。その限り、異なったグルーピングとして、通常の計量記譜記号やそのproportion変異によって、示されている。実際、Ｃ（semisircle)は、２つのＳemibrevesを示し（tempus imperfectum)、Ｃ３は、３つのＳのグループを示す。同様に、○(tempus perfectum)も３つのＳを示し（Ｃ３＝○）、２つのＳのグループは(tempus perfectum prolatio imperfectum)で示される。 要するに、（１）と（２）のduple proportionは、tempus imperfectum(B=2S)となる。そして,(3)と（４）は、tempus perfectumとなる。（Ｂ＝３Ｓ）。 ｐ149 上譜は、同じメロディの４つのproportional readingを示し、この重要な点のさらなる説明をする。 　4種類のそれぞれにおいて、proportional signで示されたリズムは、また、integer valorにて表現され得る。ひとつ細かい音価が使われると、次のようになる。 同時に、こうした方程式によって示された音価のシフトと共に、計量記譜の置き換えが生じてくる。実際にtempusと書かれたものは、integer valorのprolatioになる、など。こうした重要な事実をはっきりさせるために、”記譜されたtempus"と”実際のtempus"のような用語の導入が役立つ。両proportionにおいて、以下の置き換えが生じる。 notated modus = actual tempus notated lempus = actual prolatio. 　こうした事実の観察は、２つの矛盾するproportionｓである（２）と（３）において役立つ。記号は、tempus imperfectumを要求することになる（本来ならperfectであるべき全円であるにもかかわらず）と、tempus imperfectumは錯覚である、ということになる。すなわち、それは、書法においてのみ出現し、実際には、prolatio imperfectaとなるのである。この同じprolaｔio imperfectaは、すでにinteger valor　○に存在し、そのために、実際には、計量記譜法には何ら変化が生じていないのである。 　一方、integer valorのtempusにおける３拍子音律は、proportionにおいて、modusとして続いている。実際、すべてのケースは、proportionのパッセージが３つのBのグループを含むために、自然とmodus perfectusとして解釈されるようになる。このperfectなmodusは、実際、perfect計量記譜法が、integer valorにおいて、tempusによって代表されることを保護している。 それゆえ、一般的に、proportionにおいては、integer valorのtranscriptionのために使われた3/4拍子音律を維持することが可能である。○は（記譜された、imperfectな）tempusではなく、（記譜された,perfect）なmodusである、ということが言える。古い理論家たちがしばしば言っていたように、そして、縮約によりながら、（事実上のperfectの）tempusとなる。 この関係においては、16世紀のさまざまな理論家たちが、音価の減少を無視することによって、記号をmodus perfectusへの指示として採用したことは、興味深い。常にというわけではなかったが。 p150 　上記の説明の結果は、以下のようにまとめられる。 　４つの基本的proportion等は、４つの基本的な計量法（integer valor)等にすぎないのだが、それより１つ長い音価で書かれ、Sの代わりにBとなるtactusで演奏された。こうした記譜と実際の演奏における記号は以下の表に従う。 説明として、integer valorとproportionの近代譜相当としてどうなるのか、よく知られたメロディを使ってみよう。 以下の例は、ひとつの同じメロディに対する４つのproportionsの適用を示している。proportionは記号で始まり、最初の３つの音符はinteger valorである。 　こうした一般的説明の後で、我々は、音楽ソースに生じているさまざまなproportionsの詳細な学習に戻ろう。 p151 C. PROPORTIO DUPLA（２/１） 　15，6世紀のソースの精査は、このproportionの実際の適用における興味深く、かつ重要な変化を見出している。 白色計量譜の最初期の写本において（黒色譜のもっともあとのソースと同様に）、diminutioは、主に、２連符のprolatio perfecta のshort groupsを導入するために使われている。それは、現代の記譜法では、(a),(b)のように表現される。 ＝　　　　　　　　　　　　　　　 　例は、すでに[3,3]のcolorationの説明として提示されたファクシミリ32に見出される。しばしば、６つのS（＝八分音符）のグループが,記号において生じる。言い換えると、こうしたグループはinteger valorの３つのSに等しく、ひとつのperfect Bとなる。ゆえに、transcriptionの完全な9/8小節分を満たすこととなる。 なぜ必要なリズム変更（３連符から２連符へ）が、prolatio perfectaから prolatio imperfectaではなく、proportional signによって示されるのかの理由を考えるのは、興味深いことである。以下のように。 明らかに、その理由は、SではなくMを不変的時価単位として考えた書法のやり方によって、誤解釈されたためである。それゆえに、上譜のtranscriptionの結果は、以下の（ｂ）ではなく、（a)のようになる。 　作品（ファクシミリ32）の計量記譜法は、[3,3]9/8拍子であり、部分的に[2,3]6/8拍子となっている。しかし、これらの拍子が常に厳密に守られているわけではない。[3,3]のセクションは、第２段の中間に見られるが、9ではなく12のMを含んでいる。そして、[2,3]のセクションは、contratenorの第１行の最後で始まるが、５つのフルの6/8拍子＋半分の3/8拍子を含んでいる。 　p123で述べたように、ファクシミリ32 3声のVince con lenaは、２つのセクション、a,bから成っている。その音楽形式は、バラータ（仏語ではヴィルレイ）の形式、A b b a Aである。 第２セクション（piedi)の繰り返しのために、seconda voltaの終止は、clus(clos)の記号のついた短いパッセージがつけられている。そのdiscantの近代譜表現は、以下のようである。 p152 　既述のdiminutio simplexの使用は、記号がproportio sesquitertia,すなわち3：4における割合での縮約となることによって、Gafuriusの注意を曖昧にする。実際、方程式は、proportional signの４つのMが、integer valorの３つのMと等価であることを示している。 　デュファイやオケゲムといった新たな”古典的”様式とともに、初期の時代のリズムの複雑さは、次第に使われなくなっていった。proportio duplaは、今や、integer valorにおいて書かれたのと同様のパッセージに対して、主として生じており、作品に学習のオーラを与えるためにdiminutio(=proportio dupla)において記譜されているようなものである。 ファクシミリ33の最初の作品（A)は、contrapunctusにおいてはdiminutio duplaで作られ、tenorはinteger valorで作られている。contrapunctusの２つのSは、tenorの方の1つ分の音価である。integer valorにおいて、Sが四分音符でtranscriptionされれば、proportionのSは、八分音符になる。 上　contrapunctus diminutio dupla 下tenor integer valor(下譜Aのtranscription) ファクシミリ33 　proportio dupla（その他のproportionsと同様）の使用は、計量カノンにおいて、より正当化される。そうしたカノンは、数声部が単一パートから成っており、別の計量記譜法が適用されるのである。 p154 [3,2]と[2,2]の同時使用を示す例は、すでにｐ118で学習した。以下はジョスカンの例で、[2,2]が、integer valorにおいてとproportio duplaにおいて使われている。両声部は同時に始まり、同じピッチである。上の方の記号のもとで、メロディの最初半分のみが、最初のlongまで、歌われる。 　上記の適用よりもよりしばしば現れるのが、の使用である。これは、作品やセクションのあらゆるパートに同時に現れ、すなわち、一般的な拍子記号となっている。記譜法の観点からは、この書法のメソッドは、特に困難さは存在しない。しかし、テンポの問題がある（p188にて詳細に扱う）。 　tempus perfectumにおけるproportio duplaに関しては、我々の解説は、そのリズムに関するものであるが、ファクシミリ38の以下のパッセージによって説明されるだろう。 Breveがperfectであると考えられれば、3/8の音律の表現は、（a)として表現されるが、Breveがimperfect[２，３]であるならば、transcriptionは3/4音律であり、（ｂ）という結果となる。 contextは、（ｂ）が正しいことを示している（この作品に関しては、p172参照） 　しかし、（a)のように解釈されるケースも多くあることに注意しなければならない。p155のパッセージ (Rompelier from Odhecaton)p. '27')は、この点に関するものである。 　（音部記号から）明らかに、breveはここではperfectであり、longはimperfectとして理解された[II.3]。そのために、diminutioは、通常のtempus perfectumのリズム構造のどのような変化も必要とせず、その速度を倍加するように見える。言い換えると、（記譜された）記譜法は、[III、2]ではなく、[II,3]となる。 p155 したがって、記号(tempus perfectum prolatio minor)は、C3と同じ意味になる。すなわち、（tempus imperfectum prolatio major）の代替となるのである。 semibreveのternaryグルーピングを示すtempus perfectum diminutumの別の例は、p142にある、Quia respexitからのパッセージである。 　実際、”ternary”の解釈を示す例は、”binary"に対するそれよりも、ソースにおいてしばしばある。なぜなら、前者は、問題の記号が拍子記号として使われるのであれば、不変的に適用され、すなわち、あらゆるパートにおいて、同時に、全体の作品やセクションに使われるからである。 しかし後者では、通常、記号が真のproportionalな象徴として使われる時に適用されるのである。（p188参照） 　diminutio simplexの意味は、prolatio perfectの記号等と結びついており、p167で説明される。