Duple Rhythm and Alternate Third Mode in the I3th Century BY ERNEST H. SANDERS

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p２４９ ここ50年の間には、リズムのbinary構成は、わずかな１３世紀の作品にのみにしか普及していなかったという合意があった。そうした（例外的なものの）うちのひとつが、MS Oxford, Bodleian Library Douce 139の１３世紀の英語のダンスである。1913年にJohannes Wolfによって出版されたものがその始めである。彼は、binaryの作品としてそれを転写したが、それはその特徴が”明らかに世俗的、ポピュラーなメロディであったからである。唯一、Leo Schradeは、それに任意に異を唱え、もともとの記譜は第３，４リズムモードである、と指摘した。しかし、（Wolfがbinary音律として判定した）2つの他の作品のbinaryとしてのWolfのtranscriptionには例外がなく、そのうちの1つ(Mo 8,328)は、同様に第3モードである。 事実、１つの声部の中の４つのsemibrevesは、しばしば別の２つの連続したbrevesに対抗しておかれるために、このモテットのbinaryとしての解釈は、疑いなく受け入れられるものである。3番目の作品（Ba No.35）は、全体として、brevesとsemibrevesで記譜されているが、第６モードではない。なぜなら、longaのbinary計量記譜法が同じ理由で要求されるからである（休符にはまだ頼るべき基準がない。Ｂａ写本のみが、一貫してその記譜において、休符を区別している。 p２５０ 　semibrevesを含める説得力ある基準に加えて、longaのbinary解釈のための、2つのより多くの議論が、より最近進められた。binaryの可能性のある候補は、１つの声部に現れる２連結符cum opposita proprietateが、別の声部内の変化したbreveと同時に現れるような作品であろう。これは、第３モードをbinaryに転換することを呼び起こすことだろう。そしてそうしたことは、モンペリエ写本の古い部分のある種のモテットに対してなされることになる。 binaryに対する第３の基準は、第3および第4モードにかかわらず、Bukofzerによって最初に唱えられた。彼は「夏は来たりぬ」のカノンのオリジナルな記譜や、このようなリズムを持つ他の作品に認められるbreves―これはひし形でいわゆるEnglish brevesと呼ばれた―のつながりを主張した。 　第2および第3の基準の議論の前に、理論的証拠を調べることは重要であろう。 13世紀の音楽におけるbinaryの計量記譜法の問題を扱う中世論文には、2つ、場合によっては3つのパッセージがある。Handschinらを悩ませたもっとも詳細部分は、フランス人 Petrus Le Vise によって書かれたものである。それには、他の大陸の理論家や作曲家によって選択された格言が含まれている。Robert de Handlo作Regulaの第４ルブリックには、semibreveのペアに適用されるフランコの交替の規則の説明があり、divisio modi（訳注；完全化記号。これがあると、その前の音符は完全化される）やpunctus divisionis（訳注；これもまたこれの前の音符を完全化する）への説明もある。 p２５１ 規則７ ・・・・・・・・・・・・・ Maxim 4 PETRUS LE VISER． A　実際には、声楽において、longae, semilongae [すなわち不完全 longae], breves, semibreves は、３つの異なったやり方で表現されている。すなわち、mos longus, mos mediocris, mos lascivusである。 B.　mos longus では、semibrevesはlongae, semilongae, brevesとともに書かれ、演奏される。 C　しかし、mos mediocrisにおいては、３，４，５個のsemibrevesが１つのbreveに相当する。こうした場合、これらsemibrevesは分離されてはならず、ひとつのグループを保持し、どうしても分割する必要がある場合は、3つは一緒にしておかなければならない。 Maxim 5 D　しかし、この中間的な方法では、2つのsemibrevesは等価となり、3つでは不等価、4つは等価、および5つでは不等価である。 しかし mos longusでは、semibrevesに関する等価と不等価に関する先行するすべての規則が厳密に、mos mediocrisとは対照的に適用されている。 E.　いわゆるmos lascivusでは、以下の音価が導入される。longae, semilongae, semibrevis minor とmajorを伴うbreves 。それぞれは分離されたり連結されたりされ、さらにlongae duplicesが付け加えられる。しかし、このmosにおいては、３〜５のsemibrevesには遭遇しない。しかし、言うまでもなく、２，３のsemibrevesは存在する。 p２５２ F　それゆえに、 mos lascivus中のこうしたsemibrevesでは、多くの楽しいhocketsが生まれた。そして、このルブリック中の第３規則はMaxim2によって証明されたように、、それに従う。 規則８ A. しかし、mos lascivusでは、変化したbreveとbrevesの不等価を拒否し、それらの等価を肯定する。 B. したがって、２つのlongaeの間の2つのbrevesは、 mos lascivusの中で（punctus divisionisでもって）等価になれば、双方のlongaeは不完全となる・・・ C. しかし、もしもmos lascivusにおいて、３つのbrevesが２つのlongaeと遭遇すれば、そして、breveやそれに相当するものが先行したり後行しなければ、双方のlongaeは、完全となる。（訳注；http://maucamedus.net/franco/franco-ex01.html参照） 　第７規則のＢ，Ｃ，Ｄ段落において、mos longusとmos mediocrisは互いに論ぜられる。Ｂ段落におけるsemibrevesに関しては、Petrus Le Viserは、彼がＣ，Ｅ段落でしたようには”pro brevi"を付け加えていない。それは明らかに、実際、彼がＤ段落で指摘したように、フランコ風のやり方である。 　mos mediocrisの定義に関しては、明らかにPetrus de Cruceのモテットに関連している。その用語”conjungi"は、一般的には”連結されている”という意味で理解されてきた。しかし、モンペリエ写本中のモテットの例の中で、わずかに一作品だけが、breveに対して５つのsemibrevesをはめ込んでいる(Mo 7,253; 7,299; 8,33）。それらはこの規則 に合致している(Mo 7,299, m.11)。こうした作品においては、semibreve coloraturasが２つしかない１拍に対し、６，７個のsemibrevesが適当であるのだが(Mo 7,264)。 p２５３ この句には何かの謎があるが、"dividi"という言葉は、規則４で言及されているように、divisio modiとそのpunctusに言及しているのであろう。 それゆえ、もしも５つのsemibrevesが２つのbrevesに置き換えられる意図があるのなら、punctus divisionisはそれらを２＋３、または３＋２に分割することだろう。（semibrevesが）４つの場合は、２つ（のsemibreves）が２＋２に分割されることになるだろう。これは当時の作曲者にとっては特段ニュースでもなかったが、breveあたりのsemibrevesの数の増大のあらたな慣習は、警戒すべき自明の理を産したかもしれない。なぜなら、互いにグループ化された３つのメリスマ的なsemibrevesよりも少ないケースが、相当する作品に存在し、この解釈は少なくとも最低限の意味しか持たず、その他は明らかに適用できないからである。 　しかし、このパラグラフが賢くは理解されないやり方は、より重要なparagraph Dに影響を与えている。なぜなら、この論文で指摘されている通り、不等価の概念は音価の先行を暗示しており、そのsemibrevesは明らかに以下のように転写されねばならないからである。 　興味深いことだが、Petrus Le Viserは規則5をやめている。なぜなら、この規則では、不等価の規則はあいまいになるからである。厳密に言えば、５つのsemibrevesは　のように表現されるべきであり、ゆえに、semiminim（ここでは３２分音符）を導く。しかし、実践においてはその違いはまったく小さく、それらは結局、Handloによって認められたprolatio minorに対してprolatio majorを付け加えて、　となるかもしれない。 問題は確かに、６つあるいはそれ以上のsemibreves（＝八分音符）が１つのtempus(四分音符分）に詰め込まれる場合、よりはっきりする。すなわち、のうちのどれか、ということである。この中で、semiminimを避ける第２の選択肢は、、３つのうちでもっともあり得ることである（3番めは、tempus（拍）を変化させて（tempus majorを作る）ため、考慮外である）。 第10回　旋法とは（その1）より （訳注）tempus:定量記譜法でbreveとsemibreveとの時価の関係　prolatio：定量記譜法で semibreve と minim との間の時価の関係；それぞれ3：1（major)または2：1(minor. 　そのパッセージは、起こり得る革命的なプロセスの観点からしか理解できない。 Petrus de Cruceがこの段階で重要な人物だったことにより、Speculum musicaeのこの作者は、「作曲家はbreveに対するsemibrevesの数を４つに増やし始めた」と述べている。 p２５４ なぜなら、Prolatio（訳注；semibreveをminimに分割すること）の概念はまだ生まれていなかったので、疑いなく、4つのSemibreveが、もともとは最小単位で考えられていたからである。すなわち、となる。 その他の（例えば、Tu No 2 1、m。I）中の４つのsemibrevesに対する、1つの声部の中の2つのsemibrevesがほぼ自動的に、パフォーマンスにおいて等価になることは、他の写本（other (e.g., Mo 7,253, m. 13; Mo 7,299, m. 2）中の3つの等価のsemibrevesに対する、１つの声部の中の４つの等価のsemibrevesの不安定さのように明らかである。Petrus Le Viserのシステムは、少なくとも一時的な明確化をもたらしたmeasurementの標準を供給した。 　semibrevesの数が６になり、それを超えて9に拡大するとすぐに、prolationのシステム（訳注；semibreveをminimに分けていくこと）が実際に始まったことだろう17。 17　While Petrus de Cruce limited himself to seven semibreves to the breve, Johannes de Garlandia (the younger) pushed the total to nine. しかしモーダル・リズムは、まだはっきりと、モンペリエ写本の低声部には現れている。brevesは依然として拍を表しており、semibrevesの細分割はまだ正確に組織化されたシステムに従ってはいない。言い換えれば、 Petrus de Cruceのスタイルは、フランコ風スタイルとそのイソリズムに伴うVitryの「mos breves」とも呼ばれることがあるものの間の中途（mediocres)ではない。これは、まだprolationの概念の組織的な適用がないという前提を証明している。 したがって、１拍内の５つの−少なくとも４つ以上の−semibrevesは疑いなく、　　　などと自由に表現された。19 19 breveの細分割についての 同様の状況は、フランコに先立って存在していた。 この過渡的現象に関するより正確な情報がない状況において、semibreves minimae(minimae)およびsemibreves minorataeに、以前にFrancoによってbreveからsemibreveへと移管された変更の規則を適用するPetrus Le Viserの同時代人や後継者に目を向けるべきだろう。Petrus Le Viser自身よりも。21 21　 Johannes de Garlandia, the youngerがminima の発明者であるというウィリー・アペルの主張(The Notation of Polyphonic Music [Cambridge, Mass., '953], p. 338, note 3)は、彼によって引用された照会によっては裏付けられていない。 Handloの論文で提示された情報に基づくと、彼によって引用された以下の理論家は、それらが1つの統一された継続的な発展を表すと仮定して、示された時代の慣行を反映していると言えよう。Petrus de Cruce, ca. 1280; Petrus Le Viser, ca. 1290; Johannes de Garlandia younger), ca. 1300; and Admetus de Aureliana, the only one to mention the symbol for the minim, ca1310. 作品Mo 7,253; 7,299; and 8,332らの後期中世における位置は、20世紀の最初の10年間にシェーンベルクによって作曲された作品のそれに匹敵する。14世紀には、リズムモードのゴシックシステムの古典的なハーモニーが引き伸ばされ、リズムの連続的システムが弱められ、アヴィニョンのレパートリーでは、聞こえる以上に異常なマイクロリズム的複雑さによって細断されたテクスチャとなった。 ｐ２５５ しかし、どのような解釈がmos mediocrisに適用されていても、それは、14世紀の実践の先を指し示す。なぜならそれは、tempus imperfectumを含み、それゆえ、唯一そこに関連しているからである。 　mos lascivusの作品は2通りの方法で表記されている。 （I）それらはすべての音価を使用し、1breveあたり２つのみの連続した（独立した）semibrevesのみを含み、アルテラ化されたbrevesは禁止されるか、あるいは （2）それらはbreveとsemibrevesのみからなっており、それらsemibrevesのうちの3つが１つのbreveに置き換わることができる（Ｅ段落の最後）か、である23。 23 これは、後に一部の理論家が第6モードと呼んだものである。 規則８のＡ段落とＢ段落が、単純には、第３，４モードを排斥していないということ24（それらは、のパターンでのみ2つの連続したbrevesを許容すると考えられる）は、１３番目のルブリックのmaxim9によって証明されている。25　「第３，４モードは、もしもそれらが、第４ルブリックの第５格言によって、mos lascivus中に表現されるのであれば、変わらなければならない26」。 p256 言い換えれると、すべてのモードはmos lascivusのこの様式では可能であるが、第３，４モードはbinaryになる、ということである。（すなわち、１longa＝２ breves rectae=6 semibreves minores。―∴modus imperfectus, tempus perfectum)。その間、第６モードはbinaryになる。なぜなら、明らかに、alterationのフランコ風の規則に対して、３breves+１breveの休符からなるフレーズのような配列に従うことは不可能だからである。 　ゆえに、前に述べたMo写本とBa写本からのすべての作品におけるbinaryリズムのための理論的実証が存在する。Mo 8,328はbinaryの第3モードであり、Ba No. 86とMo 5,164とMo7,278は全てmodus imperfectusであり、breves rectaeとsemibrevesのみで記譜されている。そしてMo 7,277は、modus imperfectusのようなhocket motetであり、同様に、brevesとsemibrevesに記譜される。４つのsemibrevesのグループは明らかに３回出現するが。（Mo 8,332は、mos lascivusとmos mediocrisの組み合わせのまれな例であり、その計量記譜はternariaである）。 　「あいまいななやり方」が過去に誤解されていたことは明らかである。29　それは部分的にのみであり、偶然、大きな音価から細かい音価への進化を示している。ムードと性格の概念は、その用語が意味するとおり、不可欠である。したがって、古い方法で表記されたhocketsは、この点において、フランコ風のモテットのmos longusと釣り合っているが、より近代的なものと共通しているそれらのあいまいな性格によって区別されている。それらはよりあとの作品と共通している。 第１，２モードのモテットがmos longusというよりはmos lascivusとして考えられるかどうかを言うことは困難である。 p257 しかし、binaryリズムの5つモテットのうち3つは世俗的なテノールを持っているので、それは more lascivoで世俗的なテノールを持つあらゆるほかのモンペリエ写本中のモテットとして、不適当なことはないだろう。ある例外を除き、それらは最後の２つの冊子にすべて含まれている。それらはPetrusの規則に合っているが、Mo 7,,258のような作品はそうではない。この仮定が正しければ、おそらく、モンペリエ写本の第４冊子の内容全体が自動的にmore longoとして指定される。 　binaryのリズムの問題を扱う理論家の論文から2番目のパッセージは、それほど多くはない。。Odingtonは、1300年までにDe speculatione musicaeを書いたが、第３，４モードの記譜法についての議論を補足している。 しかし他は、longae, breves, and semibrevesを、これらの事柄の私の知見に基づいてのこれらのモードにおける休符同様に使っている。しかし、それらは、longaを2つのbrevesに、そしてbreveを２つのsemibrevesへさらには３つへと分割する。そして、longとbreveの休符は、２つのスペースと１つのスペースそれぞれに引き込まれていく。 さらにOdingtonは、Mo8,328によって代表される唯一のタイプとしてのbinaryリズムを報告している。 　3番目の抜粋は、Anonymous IVによる論文、その第7章（不規則モードについて）で発生する。再度、第3および第4モードが含まれている。 p258 次に、もう一つの第3のモードのmajor variantがある：上で説明したように、longa minimaと3つのmediocresである。 最後に3つのfestinantesがある。これは、mediocris、あるいはminimaである。 同様の方法で3つのmediocresと3つのfestinantesなど。不規則第4モードは以下の通りである：前に述べた3つのfestinantes、最後のものはminimaで、3つのfestinantesも同様であり、 もう一つの変種は、前述のように3つのfestinantesと3つのmediocrisを持ち、同様のやり方で3つのmediocresに続く。 時にはfestinantesとmediocresなどを混ぜることもある。 この章の前半の内容においては、用語は以下のように使われている。 Longa minima = Longa duorum temporum Brevis mediocris = Brevis duorum temporum Brevis minima = One of the constituent notes of a ternary ligature replacing a breve Festinantes = Notes faster than a brevis recta.37 37 Dittmer は、"tres festinantes, dicitur mediocris vel minima"を、「２つのbreves rectaeにはlonga imperfectaが続く」と解釈している。しかし、少なくともそれぞれ1tempusの長さを持ち、ternaryの連結符で示すことができれば、”急ぐ”という意味の理由はないように思える。festinantesという言葉は、”currentes"と密接に関連する。内容はともかく、それは、English fragmentsにおいてという一般的な形を示す。このシンボルは、breveが続くと、しばしば２つのsemibrevesとひとつのbreveを表す。この特殊な第３モードの最後の音符が”mediocres vel minima"である。通常モードでは、それはmediocris．である。以下の”translations”は、Anonymous 4によって使われた別の用語によって示唆されている。 Nimis longa = 5 tempora Longa media = 4 tempora Longa tarda = 4 tempora (?) Longa debita = 2 tempora Brevis parva (or simplex) = Brevis recta Semibrevis See pp. 267f infra. それゆえに、３つのヴァリアントが、以下に示されるように、あり得る。 　Evidently, all three theorists consider exclusively binary of longae possible only in compositions in the third and fourth modes. 　明らかに、すべて3人の理論家たちは、第３，４モードの作品に関しては、longaeのbinaryを排斥して考えている。 　While other passages have been culled from Odington and Anonymous IV to support binary interpretation of rhythm in music, music, of the Ars Antiqua, they turn out to be of no help. Of more recent authors both Handschin and Dittmer38 adduced the following two cerpts:89 　その他のパッセージが、特にArs Antiquaの、英国の音楽のリズムのbinaryの解釈を支持するOdington やAnonymous IVから選り抜かれると、それらは何ら助けを要しないことが判明している。 p259 　The beginning of the first sentence of the second excerpt, apparently dealing with the mutual convertibility of the third and fourth modes, is defective. Odington then continues: 　明らかに第3モードと第4モードの相互変換性に対応している第2の抜粋の最初の文の始まりは誤りがある。 Odingtonは次に続ける。 And that works out quite well. Of course, even though the long was previously said to contain two beats in poetic meters, in the third and fourth modes the long has three beats and the altered breve two, because it is allowable any time to lengthen a long syllable for music fitted to it; also, not every polyphonic composition is written in [the same manner as] metric poetry. But in these modes it is most suitable that the long have three beats and the altered breve two, because these modes principally consist of dactyls and anapests. And therefore the perfect long had its origin in these modes, but with the breve altered; it is the second, however, unless it is split into two rectae, that is always altered .. . so as to avoid the chance of the singers' not being together, which would be offensive to everybody, and so that they do not slip into first mode through alteration of the first brev それは非常にうまくいく。もちろん、longは詩の韻律で2つの拍を含むと言われていたが、第3、第4のモードではlongは3つの拍とアルテラ化された2つのbreveがある。なぜなら、それに適した音楽に対して長いシラブルを長くすることがいつでも許されるからである。また、すべての多声作品が韻律的に書かれているわけではない。しかし、これらのモードでは、longは３つの拍とアルテラ化された2つのbreveを持っていることがもっとも適当である。なぜなら、これらのモードは基本的に、dactylsとanapestsで構成されているからである。したがって、perfect longは、これらのモードでの起源を持っていたが、breveとともにアルテラ化された。しかし、2つのrectaeに分かれていなければ、それはsecondである。それは常に変化している。歌手同士が一緒にいない機会を避けるために、誰にでも不快感を与えるようにして、最初のbreveの交代を通して第1モードにスリップしないようにする。 p260 　It is hard to see why the first passage should have had such a "thorny career in modemrn musicology．Both Handschin and Dittmer,45 the former after considerable vacillation, decided that Odington here referred to binary third mode. In view of the second excerpt46 there can be no doubt that Odington actually confirms the assumption of modern writers47 that the modi recti historically preceded the modi ultra mensuram or obliqui (non recti). Clearly, Odington does anything but oppose "the third musical mode to the dactylic and anapest rhythms of metrics."48 Another statement in Odington's treatise, regarding the historical prece- dence of binary before ternary division of the breve, has been claimed by Handschin to be analogous to the evolution of the mensuration of the longa.49 However, the passage does not bear him out: Brevis vero apud priores resoluta est in duas semibreves; apud modernos, aliquando in tres, aliquando in duas.50 ("With earlier composers the breve could be replaced by two semibreves; the moderns divide it sometimes into two, sometimes into three.") If anything can be inferred from this, it is at best that prior to Franco the subdivision of the breve was not yet subject to a precisely organized system, a situation comparable to that existing in those motets by Petrus de Cruce in which four semibreves can take the space of one tempus.51 　なぜ最初のパッセージが、現代の音楽学のこのような厄介な経歴を持っていたのか、を理解するのは困難である。HandshinとDittmer45では、前者は、かなりの動揺の後、Odingtonが２連結符の第3モードに言及していたと判断した。 2番目の抜粋を見ると、「歴史的にはmodi rectiがmodi ultra mensuram （第3，4、6モード）あるいはobliqui(non recti)に先行したことは疑いない」ということをOdingtonが実際確信していたことは疑いない。明らかに、Odingtonは「The dactylic and anapest rhythms of metricsへの第3モード」に反対していたわけではない。48 Odingtonの、breveの３分割以前のbinaryの歴史的先行に関しての論文の別の声明は、longaの計量の進化と同様であることが、Handshinによって主張された。しかし、以下のパッセージは彼を裏付けるものではない。「以前の作曲家では、breveは２つのsemibrevesに置き換えられたが、今ではそれはときには２つに、時には３つに分割される」。 もしもここから何かを類推ができるのであれば、 Francoに先立つ時代には、Breveの細分化はまだ正確に組織化されたシステムではなかった、と言えるだろう。それは、4つのsemibrevesが1つのtempusのスペースを占めることができるPetrus de Cruceのmotetsに存在する状況に匹敵する状況であった。 45 Dittmer ("Binary Rhythm," p. 40) claims that, while certain Montpellier motets in third mode (cf. p. 262 infra) go back to putative models with binary rhythm mostly assumed to be of English origin--others have become subject to reductio modi to such an extent that they have "ceased being in third mode ... but [have] taken on the characteristics of 'Modi Recti,' that is they have become identical with com- positions of the second (and first) modes" (p. 42). However, to the medieval mu- sicians the concept of modal reduction did not involve whole compositions, but sim- ply the principle of modal convertibility, which the composer applied in a piece at his discretion; quite apart from the fact that of the ten upper parts of the five motets cited by Dittmer only a total of three lean clearly to second mode, none to first. Thus, it seems hardly convincing to use these pieces as examples of what Odington referred to when he wrote "postea ad perfectionem ducitur." Besides, Dittmer fur- nishes no proof that these motets had binary models or that they are younger than those supposed by him to have a binary past. 45 Dittmer（ "Binary Rhythm"、40頁）は、第3モードのモンペリエ写本中のある種のモテットは、主として英国起源と考えられるbinaryのリズムを持つと推定されるモデルに遡るが、その他は、それらがある程度、「第3モードであることをやめて...しかし第２、あるいは第１モードの作品と同一になる”Modi Recti”の特徴を持っている」reductio modiに従うようになる。 しかし、中世の音楽家にとっては、モードの減少の概念は全体の作曲に関わるものではなく、単純に、モードの転換の原則に関わることであった。作曲家は自分の裁量で作品に適用しており、Dittmerによって引用された5つのモテットの10の上声部のうち、3つだけが明らかに第2モードの傾向にあり、第１モードは皆無である事実からはまったく離れている。したがって、Odingtonが "postea adperfectem ducitur"と書いたときの例として、こうした作品を使用することは、ほとんど説得力がないようである。さらに、Dittmerは、これらのモテットがbinaryモデルを持っていたという証拠も、これらがbinaryの過去を持っていると思われるものより新しいという証拠も示していない。 　Odingtonの論文からの追加句は、binaryリズムを支持するにおいて引用されている。 p261 しかしいくつかは、第3，4モードのみにおける続く規則を使用する。それらはlongaを２つのbrevesに分割し、３連結符に２つのlongaeの音価を供与する。そして、 quaternary や quinary ligatureをternaria.と同等にする。こうした連結符の最後の音符は、常に、longである。もしもそれがbinary ligatureに続かなければ。その場合、それらは最後の音符をbreveとする。 ただし、binary ligaturesに関しては、 ternaria, longa, or long rest が続くまで、すべての音符をbrevesと見なす。したがって、連結譜は、時には brevis によって、時にはlongaによって完全化される。 　　　Ｌ　ＢＬＬ　ＬＬＬ　ＢＬ　ＬＬ　ＢＬ　Ｌ 　Odington in no way refers to binary rhythm, as he quite unconditionally that of two breves replacing valet longam imperfectam;54 rather, the passage, which Franconian valuation of quaternary and quinary ligatures, evidently deals with ways of notating fractio or reductio modi i (i.e., of the third mode to the second): 　Odingtonは、決してbinaryリズムに言及しているわけではない。彼が以前、まったく無条件に、ひとつのlongaに取って代わる２つのbrevesのbinaryリズムについて主張したように、第２のvalet longam imperfectamはむしろ、その句はフランコ派の４連結符、５連結符の音価に言及し、明らかに、fractio modiあるいはreductio modiを取り扱う（すなわち、第３モードから第２モードへ）と主張していたように。 訳注）　上譜の現代譜。この場合、longa→２brevesへという分割はアルテラツィオ alteratioとなっている http://maucamedus.net/modal/modal01.html参照 ２つの段落は後に、すでに引用された句にやってくる。そこでOdingtonは、その他が、近代的なフランコ派の記譜法を使用しながら、第３，４モードに対してbinaryを適用していると報告している。