　音楽理論の範囲は、15世紀にかなり広がりました。初期の数世紀の論文は、音楽の実践的または推測的な側面に集中する傾向がありましたが、Ugolino of Orvietoの1430年頃のDeclaratio musicae disciplinaeから始まり、多くの理論家たちが、音楽探究の全分野をカバーしようとしました。

p302
思弁に慣れている人もいれば、musica practicaに慣れている人もいます。両方に慣れているひとも。

世紀の最後の四半期と次の最初の数十年間は、音楽に関する著作が爆発的に増加しました。イタリアが主要な領域でしたが、6人の主要な理論家のうちイタリア人は3人だけでした。

熱狂的なスペイン人Bartolome Ramos de Parejaは、1482年にボローニャで彼のMusica practicaを発表しました。その中で彼は、グイドダレッツォからパドヴァのマルシェット、そして彼自身の同時代人まで、音楽の確立全体を引き受けました。

Johannes Tinctorisは、キャリアの大部分をナポリの宮廷で過ごしたワロン人だった。

John Hothbyは、彼の人生の最後の20年間、ルッカ大聖堂で音楽を教えた英国人のカルメル会員だった

Niccolo Burzioは、Ramosを激しく攻撃した。そのRamosは、最も厄介な舌で、彼の弟子のGiovanni Spataroに守られていました。Giovanni SpataroのFranchino Gaffurio との長い論争は、1520年に出版された。

この一連の論文や反論の混乱において、そこの深刻な音楽的議論はad hominem な攻撃となり、燃えるような音楽の質問がさらされた。

。これらの中には、音楽に関する古代ギリシャの著作の回復と現代の実践との関連性があり(Gaffurio, Hothby),、調律システムの基礎としてのピタゴラス音律への不満(Ramos, Gaffurio),、♯、♭の存在の合理化の問題(Spanish theorists, Hothby, Aaron）、旋法シ打てむのポリフォニーへの適用(Tinctoris, Aaron）そして、音楽自体の性質、特に、協和音程と不協和音程の概念の変化の出現としてのそれ、技術的な音楽概念（Tinctoris）としての和声の出現で明らかにされました。これらすべての質問は、音楽の未来にとって重要でした。」

　15世紀には、音楽は他の分野にも伝わりました。詩人は、古代ギリシャ音楽の伝説的な効果に音楽家らと同じくらい興味を持っていました。そして彼らが彼らの詩を音楽の伴奏にデクラマシオンしたとき、彼らはギリシャ人を真似しているととして、自身を見つめた。

p303
アーティストは、絵画、彫刻、および建築のために、四学科としての音楽を羨ましく思いました。建築は、自由科ではなく、機械芸術に属していました。

数学的原理の芸術的取り組みへの適用性を示すために、Leon Battista Alberti は、音楽の和声の比率から建築原理を導き出しました。 Luca Pacioliは、彼のDe divina proportioneで,、音楽と遠近法を明確に比較し、レオナルドはParagoneで、絵画の姉妹として音楽を主張しました。絵画の優位性を主張して。なぜなら、「音楽は生まれながらに消える」ので、全体として把握することはできないから。

3つすべてが技術的な音楽用語を使用しており、それらの著作は、音楽的思考が芸術的懸念に直接関連していたことを明らかにしています。

これらの新しい考え方は、何世紀にもわたってほとんど変わっていない伝統の中で開発されました。初心者の歌手は、音楽を読んだり、音程を認識したり、半音がどこにあるのかを調べたり、新しいテトラコードにmutationさせてメロディーをナビゲートしたり、旋法を理解したり、 psalm-tone の違いを知ったりするように教えられました（第6章を参照）。

15世紀のグイドによる論文の多くのコピー、かつてOddoに帰せられていたDialogusや、ケルンのフランコのArs cantus mensurabilisによって判断すると、過去は15世紀のミュージシャンと非常に関係がありました。すなわち、これらは基本的なテキストであり、まだ関連性がありました。

Boethiusは、大学生のために読むことを要求されました。そして思弁的伝統は、より近代的な作家たちによって引き続き示され、Johannes de Muris が最も影響力がありました。

理論が実践に遅れをとっているという一般的な概念は、15世紀で簡単に実証できます。しかし、その逆も同様です。バルトロメ・Ramosは、16世紀に好まれるであろう調律システムを予想しました。 John Hothbyは、モノコードを6つの順に分割することを想定し、Vicentinoよりもずっと前に四分音のキーボード楽器を作りました。 Johannes Tinctoris and Franchino. Gaffurioは、連続して、表記システムの改革を支持した。

GERMAN AND CENTRAL EUROPEAN THEORY
（略）
　ドイツの理論は、B

を使用したものとB♭を使用したものの2つの基本的なスケールしかないと認識において、、イタリア人に先んじていた。音階のすべての音符は、柔らかいヘクサコードと硬いヘクサコードでカバーできたため、自然のヘクサコードは不要と見なされた。

p309
そして、半音mi-faがスケールのどこで発生したかを知るだけでよかったため、煩雑なmutationシステム全体が不要となった。

Ornithoparchusはさらにグイドのシラブルと3つの重なったヘクサコードの特性を説明しているが、mutationに関しては、彼の説明は非常に簡潔なので、初心者の歌手には理解が困難であった。重要なことは、そこにはティンクトリスとガフリオ、そして後にイタリアの理論家で見出されるmutationが行われた場所の詳細なリストがないことである。

SPANISH THEORY
（略）
p310
　実際のソースから、スペイン人は、ポリフォニックミュージックだけでなく、臨時記号の使用がはるかに自由であったことがわかっている。

彼らのチャントのinflectionに対する好みは、Estevanによってすでに証明されている。彼は、プレインチャントでの臨時記号は適切であるだけでなく必要でもあると主張し、とりわけ、応唱Sancta et immaculata とEmendemus in meliusにおけるB♭の使用、応唱Gaude MariaでのE♭、聖体拝領Beatus servusでのｆ♯使用を示している。26

これらの同じ例は、グィドのの手以外の♯と♭、coniunctaeの配置を示すために、1375年のいわゆるBerkeley論文で使用されている。27

パリで書かれたこの論文は、後の出典での「Goscalcus」に帰されていた。それはスペインで特に影響力があったようである。 `Goscaldus '（時々' Johannes Goscaldus '）は、 BermudoのComienca el libro primero de la declaration de instrumentos (1549年)と同じ時期まで長く引用され続けている。

Goscalcusと同様に、Estevanは、B♭、c ♯、e♭、f ♯、a♭、c' ♯、e'♭、f' ♯、a'♭、c ♯の10のconiunctae(移調されたヘクサコード)を認識した。28

これらのおかげで、彼はbfa

miにおいて、6つのシラブルが見つかると主張する。すなわち、laはDで始まるhexachordから発生し、sol はE♭からの hexachordから生じ、faはフラットのおかげで、miはそのままからで、re はAからのhexachordから発生し、utはB♭からのhexachordが起源である。29

Estevanは、メロディ的三全音を変更せずにそのままにしておくことにおいては、イタリアの理論家よりもはるかに進んでいる。すなわち、メロディがfからbにかけて上昇した場合、すぐにｆに下降する。 fそこではｂ♭で歌われるが、fに達する前に2回以上aに触れると、b

が歌われる。（第5、6旋法を除いて。ここでは通常は全体がフラットで歌われるので）。

メロディがdからaに直接上昇し、それからbに直接上昇し、すぐにfに下降する場合、ｂ

も歌われる（これは（ｂ♭となる）「una nota supra la」の規則に反するが）。30

p311
フラットとナチュラルのどちらを歌うかを決定する5つのルールは、反対の音符でのメロディがより美しい（「mas fermosa」）場合、驚くべき6番目の規則で制限されます。その場合、ルールは無視されます。

　Estevanの論文は15世紀のスペインで広く知られており、匿名の写本のバージョンと日付のない匿名の印刷版、Arte de canto llanoから判断すると、、それは多くの16世紀の論文の基本的な情報源です。３１（しかし、その論文がイタリアで書かれ、出版された Bartolome Ramos de Parejaに影響を与えたようには見えず、彼に続くスペインの理論家にはほとんど影響を与えなかったようです）

1492年、Domingo Marcos Duranは、ファンダメンタルズに関する簡単な論文、Lux bellaを発表しました。これはスペイン語以外の類似のマニュアルとは異なり、13に拡張されたconiunctaeをリスト化し、多数の詩篇の朗唱を提供し、1行で書かれた plainchantを読むための規則を示しています。

1498年に彼は拡張版、Comento sobre Lux bellaを発行しました。plainchantのパフォーマンスに関する彼のコメントは特に興味深いものです（以下を参照）。

彼のSumula de canto de organ°（日付なし、c.1504）は、ポリフォニーの最初のスペイン語マニュアルです（「canto de 6rgano」、あるいは「cantus Organicus」は、ポリフォニーの通常のスペイン語の用語でした）。

それは即興の counterpointを含む counterpointと、彼が多くのconsonance tablesを提供する構成の両方をカバーしています。

その最後に彼は、11ページのボーカルexerciseを含めている。すなわち、ユニゾンから2オクターブまでの音程の装飾、小音価での実践、さまざまなリズム、シンコペーション、およびいくつかのプロラツィオである。

彼は、これらのverbos とpassosfuertesが慎重に実践されれば、優秀な歌手になれるだろうと約束しています。マニュアルでは、しばしば推論できることだけを明示しています。その対位法論文は主に歌手に向けられており、新進の作曲家には向けられていませんでした。

　16世紀のスペイン理論の源泉は、Ramosというよりむしろ、カタロニアの理論家Guillermo Despuig（de Podio）でした。スペインの伝統を打ち破り、彼はラテン語で書いた。学問的尊敬を反映して。（そして彼は、ボエティウスに大きく依存している）。

p312
実際、彼の Ars musicorum （1495）は、スペインの理論を尊敬できる立場に戻すように設計されているようです。 Ramosは間接的にしか言及されていませんが（ `quidam ex nostris '）、 Guidonian syllableを置き換えるという彼の提案には、嘲笑が投げかけられている。そして、、モノコードの適切な（ピタゴラスの）区分には細心の注意が払われています。

Despuigは常にスペイン人の同僚と調和しているわけではなく、 chantは同一リズムで歌われるのではなく、その音符の形に従って歌われます（下記参照）。最も驚くべきことに、彼はその名前としても手順としても、その coniunctaに激しく反対している。33

　スペインでは、イタリアよりはるかに早い時期に、♭はchromatic genusに関連付けられています。 Esta es una introduction muy breve de canto llano (c.1498頃）で始まる論文で、彼は、次のようにgeneraの章を始めています。（略）

それから彼は、ディアペンテの4番目の種である「giving colour」（dando el color）から形成されるchromatic genus について説明します。そこでは、全音階は半音を配置している。

このディアペンテの外側の２つの音符はfaであり、内側はfaまたはutまたはその等価です。彼が（Duranのように）、ディアペンテの最初の種を慣習的なDではなくCで始まると説明していることがわからないと、この説明は理解できません。したがって、4番目の種はF—G—A—B

-Cとなり、「giving colour」（文字通りの意味合いは”半音階的”）は、B

をB♭置き換えることを意味します

暗示的には、上昇するメロディ的な三全音に遭遇するたびに、♭を使用して完全四度に変更する必要があります。35

p313
　おそらく、その論文の版の数から判断すると、スペインの理論家の中で最も影響力のあるのは、 Burgos Cathedraにいた、 Gonzalo　Martinez de Bizcarguiの、maestro de capillaでした。36

彼は、Despuigに多くを負っていますが、彼は、理論家 Juan de Espinosaの、怒りを喚起する2つの問題に関するモデルから出発している。37

キーボード楽器での経験を利用して、Martinez de Bizcarguiは、mi-faの半音がmajor semitoneではなく、minor semitoneであると主張しました。彼は弦楽器間の観察可能な距離だけでなく38、聴覚にも訴えました。

Juan de Espinosaはこの「悪魔のような声明」に異議を唱えている。すなわち、それは数学に反しているだけでなく、耳にも間違いやすい。」

Martinez de Bizcarguiのpractical bentは、由緒あるb famiが間違っているという彼の主張にも示されています。音符はb fa miと呼ばれるべきなのであり、すなわち、固定された文字bとモバイルな文字bの両方を含む名前は、♭でも

にもなり得る文字eに類似しているのである。４０　

そのような立場は、すべての♭が半音階属であるとして指定することについてほぼ全会一致であるスペインの理論家にとっては、より自然なものでした。いくつかは、直接、キーボードの上位順を直接参照しています。 colorの本来の意味が、キーボードの黒い音符にどのようにトランスファーされるようになったのかを理解するのは簡単でしょう。

　Martinez de Bizcarguiは、1538年版に記載されているフラットとシャープに関するルールに、他のどの理論家よりも多くのスペースを費やしています。

これらのルールは、イタリアの理論家によって示されたほとんどのルールよりもはるかに具体的であり、一般的な用語でよく語られ、三全音と減五度を修正するために♭を使用ことを主として適用する。

彼のスペインの同時代人のように、そしてconiunctaの理論の遺産を反映して、彼はプレインソングからすべての例を示す。彼は、♯を伴うこれらは、ポリフォニーにより適していると述べているが。（どのルールも特定の旋法には関連付けられていません。）彼のルールと例外は次のように言い換えることができます。41

p314
規則１　ｆからｂへと上行する、あるいはｂからｆへと戻るすべてのメロディは、三全音を避けるためにB♭で歌われる。

単語が2つの連続した母音を持っている場合、この規則は無視されることに注意されたい。たとえば De ventre matris meae at meae (LU 1499) やScio cui credidi at cui (LU 1344)のように。彼は、B

が、最初のルールへの最初の例外であるためにそこで歌われることについては、同意はしていない。

最初の例外
パッセージが、言葉の終わりで、a音上のclausulaと一致する場合、Bが歌われる。たとえ三全音が生じたとしても。

それゆえ、よく知られているintroit　Gaudeamusは、B

として歌われるべきだろう。しかしMartinez de Bizcarguiは、こうした理由で言葉の構造を引用した唯一の人である。

第２の例外
メロディがｂに上行しても、ｆに下降する前にｇやaを通ったりした場合、Bが歌われる。、

この規則は、少なくとも、Estevanに戻る。彼は、2回のみ、ｇやaを要求している。

第3の例外
メロディがｇやaからbへと上行し、それから、ｆが♯化されるべきa clausuraに戻る場合、Bが歌われる。

p315
規則２　c'へと上行するすべてのメロディは、Bで歌われる。

彼は、一部の人（Guillermo Despuigを含む）は、B♭が先だって歌われていた場合、そのパッセージはそのヘクサコードにとどまるべきだと信じている、と述べています。

彼は、B♭が第5，6旋法で頻繁に歌わなければならないことを認めているが、それがそのまま保たれることには、不同意である。（もっとも芸術というよりは好みの問題であるが）。B♭は、メロディがｆ’へと跳躍したり、e'上の♭を要求する場合には、そのまま保持される。

規則３　ｆからBへと下降し、Bからｆへと上昇するすべてのメロディは、B♭で歌われねばならない。（三全音を避けるために）。

　Martinezは次に、E♭に進みます。これは、三全音やB♭を伴う減五度を回避するためである。同様の流れで、A♭も時に要求された。オルガンでは、この音を代わりにG＃で調律するので、三全音を残すべきだと考える人もいますが、Martinezは人間の声がより完全であるとして、A♭を認めている。

　mutatio（つまり、ソルミゼーションシラブルを変える）なしで歌われる、♯のための特定の規則はない。彼の例は、C＃、F＃、G＃上のサブセミトーンを示しています。

何人かのスペイン人理論家は、上昇するメロディがGまたはDに3回触れる場合、規則をtransmitしている。これらはfaと同等になり、FまたはCが♯化される。42

これらのパッセージを説明する際に、Martinezは、歌手のためのこれらの音程を明確にする1行に記されたチャントで使用された特別な音符形状を暗示しています。43

彼は、当時の街の教会がまだ、１行メロディーで書かれたチャントブックを持っていたことを確証している。Duranは彼のComento sobre Lux bellaで、旋法によって異なる1行を供与する。

　プレインチャントとのスペイン人の先入観はまた、チャントのリズム的パフォーマンスへの洞察を可能にし、当時の非スペイン語的ソースにはめったに現れない。44

p316
興味深いことに、理論家の間で意見の相違があるようです。Duranによると、チャントは均等に歌われます（por compas）が、2つのプリカを持つ音符は、2つのpor compasの音価となる。

かつては、アルファ（連結符）は1 1/2 + 1/2por compasとして歌われていたと彼は述べています。

しかしGuillermo Despuigは、チャントは厳密には計量されていないと述べています。音符はその形状に応じて、「歌手のお気に召すままに」長くまたは短く歌われます（Ars musicorum、bk。vi、ch。36）。

さらに、メロディーの最初のbreveまたは下降clausulaの最後から2番目の音符は、longで歌われる。

　チャントのパフォーマンスは地域によって異なる場合があります。トレドでは、canto meloclicoと呼ばれた装飾されたチャントの一種が、18世紀まで続いた伝統である聖歌退院によって歌われました。

BARTOLOME RAMOS DE PAREJA
p317
　スタイルと思考の両方で、Ramosは音楽理論の新たな出発を表しています。彼とは正反対のJohn Hothby（その斬新なアイデアを謎めいた用語で覆った）とは異なり、Ramosは非常に由緒ある擁護とシステムを、非常に論争的なスタイルで解体し始めました。

グイドを「音楽家というよりも優れた修道士である」として退け、彼はhexachordsとmutationシステムを、Cからのオクターブを基本としたシラブルの単一設定に置き換えることを提案しました。psal-li-tur per vo-ces is-tas (music played by these voices).

彼の提案が非現実的だったために、その採用が不可能だったとはいえ49、ヘクサコードの脆弱性は、5つのフラットと5つのシャープの認識と最終的な使用によってますます明らかになってきました。

あまり知られていないJohannes de Villanovaの承認を引用して、Ramosは、♯を歌う場合、歌手に、mutationを無視するように勧めた。すなわちたとえば、A C♯Dは、`ordo accidentalis sinister' （Aで始まるスケールを示す図）では、ut mi faと示されていますが、単にre fa solと歌われ、G F＃G はsol fa solと歌われるべきである。50

この調律は、純粋な長三度（5：4）と短三度（6：5）を提供しましたが、g—d 'の五度を狭くし、それに対応する四度、d—gを拡げ、全音のサイズを9：8および10：9の２音程で受け入れている。

さらに、短三度のB-dとg-b♭には妥協が必要でした。つまり、ｂ♭ーｂのmajor semitoneは、15:14に調律できず、実際には16:15のminor semitoneよりも小さい（135：128）となった。51

これはRamosを悩ませることはありませんでした。すなわち、彼の提案は、彼のソルミゼーションシステムの改革のように、歌手が実際に三度を歌った方法を反映することを意図した、純粋に実用的なものでした。彼は自分のソースにはあいまいで、歌手が理解しやすいように自分の区分を単に提示しているだけです。

p318
彼の弟子のGiovanni Spataroは、この調律が、musica activa、または演奏に使用されることを強調しましたが、ピタゴラスのイントネーションは引き続き、musica theoricaの基礎となった。52

Ramosの提案には、Foglianoの Musica　theorica of 1529より強固になった理論的根拠があった。そして世紀中ごろまでに、イタリアの理論家たちの一般的なコンセンサスは、実際に使用されている調律システムが確かにプトレマイオスのsyntonic diatonicであることであった。

　 Ramosは実用的な音楽に重点を置いて、楽器、musica ficta、対位法（フーガの初期の記述、または模倣を含む）、計量記譜法（記号の15世紀のさまざまな使用法のレビュー）、およびカノンの記述について言及しました。彼自身の作曲のいくつかは、現在失われています。

論文全体を通して、彼は多くの当時の理論家に、しばしば非常に意地悪な言葉で問題を提起しています。 Ramosの一斉射撃は、音楽理論の新しい方向性を開始しました。理論は論争的であり、古くからある真実ではなく、著作者たち自身に向けられています。

回答を求められたのは、John Hothby, Niccolo Burzio, and Franchino Gaffurioでした。 Spataroは、Niccolo Burzioに向けられた論文とFranchino Gaffurioとの有名な実行中の論争で、論争的な言葉で、彼の師の挑戦を取り上げました。紙上論争は、Franchino Gaffurioの1522年の死亡でやっと終了した。

JOHN HOTHBY
Musica practica でBartorome Ramos は、 three kinds of semitones: hard, soft, and naturalを主張した `frater Johannes Ottobi anglicus carmelita'（Hothbyのこと）をあざけり続けた。Ramos が Hothby のものと思ったその教義は、Marchetto of Paduaからのものであった。

「しかし、それは私を驚かせません」とラモスは言います、「彼はグイドの信奉者だからです。私は頭を破壊して、エラーに悩まされている体が死体になり、もはや生きられないようにしたいのです。」」55　この好戦的な発言は、ラモスの同時代の人すべてに向けられた可能性があります。

p319
　

p320　Notation
1.記譜法60
Johannes de MurisによるLibellusを乗り超えて、彼の弟子たちは8つの音符の形があり、新しいものはセミミニマ、クロマ、セミクロマであると教えられました。

計量記譜法の記号はすぐに導入されている。それらは、Hothby'sの教えの重要な部分を形成します。なぜなら彼は、円または半円によってminor modus with tempus（2/3)を示すシステムの提案者でしたから。

その使用法は、実践的な音楽家たちには好まれたが、 Tinctoris and Gaffurioには反対されています。modus majorに従って計量された作品では、計量記譜は記号と２つの数字（○22)で示されている。その使用法を示すために、HothbyはモテットOra pro nobis(写本56/201 　Wikipedia 27v-28 )を書きました。○22はテノールの最初に現れます。61

この作品はまた、さまざまなtemporal proportions、記譜法の論文で取り上げられた別の主題も示している。Tinctoris and Gaffurioの体系的な方法ではないが。

彼の論文では説明されていませんが、modusの記号はまた、減価も示しています。すなわち、modus minorではproportio dupla、modus majorではproportio quadruplaである。このような使用法は、増価を示すprolatio majorの記号を扱うことの逆の対応となる。

p321
2 プロポルツィオ62
説明は、BoethiusのDemathicaに基づいた純粋に数学的なものであり、5つの種の数の関係をカバーしています。

3. Counterpoint
4つの音程（ユニゾン、四度、五度、およびオクターブは、テノールのヘクサコードと関係した対位法のヘクサコードに言及している）、弟子たちは、テノールのヘクサコードの各音符に対して使用可能な音符の範囲を記憶します。

たとえば、 'grado di pari'（ユニゾン）のutに対して、ut、sol、mi、laを歌うことができます。 reに対して、re、la、faがあるかもしれません。音域はhexachord内に制限されているため、miに到達した場合にのみ、テノールの下を歌うことができます。なぜなら、laをユニゾンで歌うことができるが、残りの音はその五度、六度、三度下となるからである。64

TinctorisとGaffurioによる対位法の扱いと比較して、Hothby'sは非常に初歩的です。

4. Calliopea legale
これは、Hothbyの論文の中で最も特異なものです。それは以下の4つのセクションに分かれています。①ヘクサコードとmutation ②メロディの動き　③リズムの動き　④音程

それは、音楽の基礎をカバーしているように見えますが、かなりの予備知識を前提としている。

p322
Hothbyの教えを知らない人にとっては、Calliopeaは戸惑いをさせられる。なぜならHothbyは独自の用語を用いており、なおかつその用語が一般が期待する概念にあてはまらないからである。

３つの「ordini principali delle voci」はhexachordの3つの特性ではなく、文字の３つのordersのことである。
①natural (equivalent to the white keys on the keyboard),
②flat (equivalent to the black keys tuned as flats, but including F and C from the first order)
③sharp (equivalent to the black keys tuned as sharps,but including E and B from the first order).

３つのorderｓは、以下の表でまとめられる。

このことから、Hothbyが、すべてのフラット音に、次に低い自然音によって second order で名前を付けていることがわかります。たとえばB♭は、'A del secondo ordine'（second　orderでのA）となる。

その理由は、キーボードの観点からの彼のスケールの概念に由来する。B♭はAとA♯の間にあるからである。

音階の音符は('le voci famose') その機能によって以下に分けられる。

①principe (B and E in the　first order), leaders
②comite (C and F in the first order) followers
③demostratore (A,　D, and G in the first order) pointers

最初のorderのleadersは、third orderに関してｆollowersになります(A♯－B　D♯－E)。The leaders and followers は、all the `nomi officiali' in their `schiera', つまり、ヘクサコードのシラブルを支配している。

この時点で初めて、 Hothby はグィドのシラブルを使い始めます。すなわち、leadersは mi, followersはfaとなる。

p323
（この狭い導音は、ティンクトーリスの言う、"chromatic semitone"である。それは、Marchetto of Padua'のdiesisと関連している）　次に、mutationは、グィドのヘクサコードの観点から、説明される。フラットとシャープを含むhexachords（ `schiere promiscue '）を追加すると、音階の各音で6つのシラブルすべてを歌うことができます。

5. Tractatus quarundam regularum artis musice
これはホスビーの最も発達した論文である。主要なコンポーネントは、monochordの分割である。その主題は、Hothbyの時代ではめったに扱われなかったが、彼の思想の中心であった。なぜならそれは、彼のsecond and third ordersだけでなく、Calliopeaでは議論されなかったfourth and fifth ordersも含んでいるからである。

fourth orderは、GとA♭の間の距離を半分に分割して（そしてこの音から最初の順序と同様に残りの音を生成して）、fifth orderはG♯とAの間の距離を半分に分割している。そして残りの音も同様に生じている。

これらのordersの音符は、中央にドットがあるb quadro iacenteによって表示されますが、「これまでは」、「それらはプレインソングでもポリフォニーでも使用されていません」と彼は言います。この論文の1つのバージョンでは、sixth orderを想定して、コンマを2つのschismataに分割しました。70

これらの問題への彼の関心は明らかに、Philolausの音の分割についてのBoethiusのDe Institutione musica iii。 8を読むことによって明らかに高まりました。なぜなら、彼は同じ用語を使用しているから。彼は、コンマの半分をschismaとし、minor semitoneの半分をdiaschismataとした。（しかし、後者に対する彼の好ましい用語は、Philolausがminor semitoneに使用した diesis( ＃)であった。Hothbyは、後の理論に従い、それをlimmaと呼んでいる）。

p324
　Tractatusには、音程とその種類、および旋法の徹底的な扱いについての、Guido, Johannes Votto' or Affligemensis (Hothby, like Adam of Fulda, identifies him with Pope John XXII), and Marchettoの教えに基づいた拡張ディスカッションも含まれています。

各旋法のエトスを列挙した後、彼は、旋法と単語を一致させる際に細心の注意を払う必要があることを忠告し、これまでのところ、単語が物語から疑問に変わるとき、ヒポドリアンからフリジアンに移動することを提案している。71

多くの15世紀の論文は、次の世紀にのみ真剣に取り上げられることになっている旋法エトスの概念にリップサービスを支払っています。

　Hothbyは一般的に保守的であると考えられています。彼は、彼の教えの基礎となる2本柱であるBoethiusとGuidoを崇拝している限り、確かに保守的でしたが、彼の前衛的な思想を専門用語で覆い尽くしたので、彼の革命的思考の全容は依然として高く評価されていません。（これは、特にHothbyにおいては、革新者としてのラモスの経験に照らして、故意であった可能性があります。）

彼自身の時代でさえ、彼は理解されていませんでした。すなわち、Pietro　Aaronが、６つのシラブルを各音符上で示すことが可能であると提案した（グイドの手のすべての場所に、６つのソルミゼーションシラブルを置くことができる、すべての場所にrniとfaを置くことができるMusica Fictap37）とき、彼は何か新しいことを発見したと思ったが、フラットしか示していなかったので、ホスビーまでは到達しなかった。

Tractatusで、 Hothbyは、正確な理論ではないとしても、Nicola Vicentinoの論文、L'antica musica ridotta alla moderna prattica (Rome, 1555）を予見した。近代的音楽家のために調律された古代ギリシャの内容を再生して。74　そして、Nicola Vicentinoのように、彼は理論に留まらなかった。

p325
モノコードは、Tractatusでは調性がないと記述されているが75、Hothbyは、赤いキーで示されたquarter-tonesを持ったキーボード楽器を所有していました。76

おそらく、彼は、Epistolaが書かれた後に発展した、sixth orderを含める方法を見つけたことだろう。77

彼の論文は、この楽器の実用化については沈黙していますが、ピタゴラスのイントネーションに基づいており、それは、ポリフォニックな音楽よりも、教育目的であった。彼の作品には、冒険的な臨時記号はない。

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