| The Origin and Early History of Proportion Signs（抄訳） By ANNA MARIA BUSSE BERGER |
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| ｐ403 proportion記号、あるいはより特殊的には、その分子の数字と分母の同じタイプの数字が異なる比（fraction)となっているものは、1410年、11年頃にボローニャで編纂されたMS. Modena, Biblioteca Estense, M.5.24にある、CasertaのAmour m'a le cuer mis において、おそらく初めて見出される。 proportion記号の最初期の理論的説明は、Prosdocimus de Beldemandisの Tractat de cantus mensurabilis （1408年）に見出される。それらはフランスのシステムのminimの等価性を無視するために存在していたことが証明されてきた。 minimの等価性を無視する願望はどこから生じてきたのか？ なぜ作曲家は突然、proportionsを使用しようとしたのか？ 正確には、14世紀から15世紀にかけて、どのようにproportionsが使用されたのか？ たとえば、一般的に、2つの連続したproportionは、その積として表される。なぜなら、15世紀後期の理論家、Johannes TincorisとFranchinus Gaffuriusはそのように言っているからである。しかし、これは、15世紀初期にも当てはまるのか？ Johannes TincorisとFranchinus Gaffuriusによれば、proportionを伴う計量記譜法は、proportionに先行する計量記譜記号に由来するが、proportion自身からは由来しない。これは、初期の時代のことであるのか？ たとえば、breveのレベルに適用されたsesquialtera(3:2の比（fraction))が続く2拍子計量は、sesquialteraの部分の不完全あるいは完全brevesとなるが、もともとのbreveの2拍子計量が保たれているか（例１a）、あるいは、sesquialteraの3拍子mensurationが引き継がれている（例１ｂ）かに拠っており、それはまた、breveのレベルにも適用される。   （ｂ）の場合、sesquialteraの比（fraction)は、３つの不完全breveｓではなく２つの完全brevesという結果になっているbreveの元の2拍子計量を変化させることになる。言い換えれば、不完全音価が完全になる。 こうした疑問は音楽の演奏にはほとんど関係はないが、15，6式の理論家にとっては重要な問題だっただけでなく、proportion記号の発展においても重要な役割を果たしている。 以下のような疑問への回答が試みられている。 １ どのproportionが使われているのか？ ２ それらはどのように示されているのか？ ３ なぜある種のproporionsだけが使われたのか？そして、proportionsを示すために使われた記号の大きな変化の理由は何か？ ４ proportionsは重積したのか？ ５ mensurationは、proportion記号から由来するのか、それとも、mensuration記号から由来したのか？ 最初の疑問とともに、実際には、すべての14世紀後半から15世紀前半の理論家たちは、本質的に、proportionsの同じ設定を記述している。以下の５つのproportionsがリストには続いている。 2:1 3:1 3:2 ４：３ ９：４ 15世紀の作者不詳の論文Iste sunt proportionesには、同じ比（fraction)が使われているが、しかし、９：８と８：３が追加されている。その他の論文は、大同小異である。 p406 比（fraction)に加えて、proportionsを示すために、当時の作曲家や理論家は、mensuration記号、coloration,イタリア式音符型を使った。そして、あいまいさを避けるために、しばしばこれらのデヴァイスを組み合わせた。 多くの場合、異なったmensuration記号の組み合わせはminimの等価性を前提としていた。にもかかわらず、mensuration記号はまた、真のproportionを示すためにも使われた。すなわち、minimの等価性の無視であり、そうした使用は、14世紀後半から15世紀における重要な実践を示していた。 p40７ 多くの場合、mensuration記号は、特に説明をされることもなしに使われた。ときどきmensuration記号は、イタリア式音符型を伴なって組み合わされ、あいまいさをなくしていた  mensuration記号のproportion的使用は、一般的に、breveのequalityを前提にしていることが重要である。すなわち、下側のより細かい音価は、不変のbreveに適合させられるのである。Marchettusはすでに、proportioという用語を、ひとつのtempus(breve)に関係させている。14 14 breveのequalityと必ずしも常には連関しない唯一の記号は  である。比較される音価は変化する。たとえば、９：４という比（fraction)は、minimでの比較が必要となる（例２a）。それに対して、３：２の比（fraction)は、semibreveｓでもminimsでもどちらとでも比較ができる(例２ｂ、ｃ参照）。 表２は、semibreveレベルでのsesquialteraとの完全対不完全の設定をする作品のリストである。すなわち、例２ｂのように、breveのequalityを仮定している。すべての作曲家は、Galiotを例外として、sesquialtera３：２を示すために、〇を使っている。作品群のうちの3作はカノンを使っており、それは明らかに、異なったmensuration符の間でminimの等価性を避けるためのことである。15 ２つは、sesquialtera３：２のproportionを示すために、赤い〇を使っている16。 15 Johannes de Janua in Une dame requis, (ModA, f. I2r, Apel 1970:1, no. 45, mm. 20, 32, and 65); M. de Sancto Johanne, Je chante ung chantは、sesquialteraの比（fraction)を示すために、Cに対して、〇を使っている。 16 sesquialteraの比（fraction)を示すために、Cookeは、〇を使っている。(OH７８ｖ−７９） http://www.bl.uk/manuscripts/Viewer.aspx?ref=add_ms_57950_fs001r  p408 しかし、別の一作品（Caserta作）は、tempus imperfectus prolatio major  に対して、tempus perfectus prolationis maior の記号を使用している。そして赤色のcolorationは、９つのminimsが６つのそれに対して設定されていることを保証している（例３a)17。17 Lyonel's Credo, (OH, ff. 70-71)は、〇と３の記号を結びつけ、sesquialteraの比（fraction)を示すために、colorationとしている。 http://www.bl.uk/manuscripts/Viewer.aspx?ref=add_ms_57950_fs001r  同じ作品では、 に対する通常のやり方で、colorationを使用している。２つの完全semibrevesは、３つの不完全semibreves（[３，２]）に置き換えられている.（例３ｂ） 例３aに示された効果を達成するために、mensuration記号は絶対に必要となる。 一方、作曲家は、colorationなしに記号を使うことができなかった。なぜなら、彼は、tempus perfectとtempus imperfectsをそれぞれ互いに設定した時に作品を通して、minimレベルでは等価であることを前提としたからである。最後に、我々は〇のみによってsesquialteraの比（fraction)を示す３つの作品があることを見出す。 表３は、minimレベルでのsesquialteraの比（fraction)における、tempus imperfectus prolatio maior に対するtempus imperfectus prolatio minorCとの関係を示す。breveとsemibreveの等価性には差がなく、brevesとsemibrevesは、1longに等しい。この４つのケースのうちの３つにおいては、sesquialteraの比（fraction)は、mensuration記号のみで同定される。Johannes de Januaの作品のみが、カノンを伴っている。 p４０９-１０ ４：３の比（fraction)は、 で示される。例４a、ｂ。比（fraction)として使われたその他のすべてのmensuration記号がbreveのequalityを仮定するのであれば、は、必ずしも必要はなくなる。１４世紀後半や１５世紀前半でのように。と〇の間のbreveのequalityは、が同じ作品で、proportio duplaの記号として使われている場合のみ、想定される。（例４ｃ）。がproportio duplaを示すのは２つの作品のみに見出される。一方、たとえば、チコニアのSus une Fontayneでは、をCととに組み合わせている。の３つのminimsが、の4つに対して設定され、Cの１つのminimが、における１つのminimに等しく設定されている（例４ｄ）。それゆえ、 は常にars subtiliorにおけるbreveのequalityと連関しているわけではない、と結論づけることができる２２。22 15世紀初頭においては、 と は、proportio sesquitertia４：３とdupla2:1を示すために、（区別されることなく）交換されて使われた。Alejandro E. Planchartは、Johannes BrasartによるGloriaの版が、4:3を示すために、を使っていることを見出したが、BL and Tr 90 and Tr 93はすべてを使っている。( (Planchart 1981, 41-42）  p411 は、この時代においては、他の記号よりも頻回に使われていた（表４参照）。なぜなら、この記号はほとんど、proportio sesquitertia４：３と独自に結びついていたからである。付加的記号によって意味を明かにする必要性は、作曲家にとっては、ほとんどなかった。Anthonellde Caserta(Tres nouble dame)は、カノンを伴っている。２つの作品は、イタリア式の音符形を伴い、１つはcolorationを伴っている。最初の完全tempus（Ｏ）に関連して、
colorationと記号（本来なら）の組み合わせが２：１のproportionという結果となるいくつかの作品がある。(例４e)。 ｐ412 表５は、dupla sesquiquarta９：４の２例のリストである。  は、minimレベルでの９：４の比（fraction)を示している。両作品とも、カノンである。  表６は、CH写本で使われているsesquioctava 9:8の２例である。最初の作品、Johannes de AltacuriaのSe doi il plusは、  の９つのminimsを持ち、の８つのそれと対している。（例５）  mensuration記号は、カノンによって、明瞭となっている。作曲家が をと比較したのは論理的である。なぜなら、one breve内の８つのminimsは、明らかに、縮約を要する(4つのminimになる)からである。驚くべきは、彼は、３つの完全semibrevesが４つの不完全semibrevesと比較されても、 を使わなかったことである。sesquioctavaを持つもうひとつの作品、GaliotのLe sault perilleruxは、tempus perfectusの記号である  を用いている。ｐ413 GoscalchのEn nul estat (CH, f. 39v, Greene 1981:19, no. 58) と Anthonello de CasertaのDame d'onour enqui (ModA, f. 40ov, Apel 1970:1, no. 5)は、トップに2つのbinaryあるいはternaryを用いて、それぞれ、上がprolatio,下がtempusであった。 Johannes Wolfは、その使用法は、Johannes Ciconiaによって記述されたことを指摘しているが、私は、Berkeley Manuscriptにもっと早期に記載されているのを見出している。 こうした理論家の誰もが、このような使用法について詳細には述べていないが、２つの作品についての研究から、それが、breveの等価性のもとで、異なったmensurationの垂直的同時的な組み合わせに対して保護されていたことが明らかとなっている。 Goscalchの En nul estat には、[３，３]のbreveが、[３，２]のbreveと等しくなっている。（例６a)。[２，２]は常に、半分に縮約されてこうなっている。言い換えれば、それは、 、の代替である。（例６ｂ）。正確には、同じtempusの関係が、Anthonello de Casertaの Dame d'onour enquiにも認められる。Anthonello de Casertaは決して[3,3]は使わないが。  理論的論文が、proportionsとしてmensuration記号を広範囲に使用していることに驚いてはいけない。Johannes Boenの Ars (musicae)の改定版に、我々は、ハーモニー的proportionを示すためのfig.1（省略）を見出す。 書記によって使われたこの記号は、tempusのmensurationと絶対的に関連している。彼は、 記号を、proportio sesuiotavaの記号として用いている。ちょうど、Galiotが Le sault perilleuxにおいて行ったように。記号は、sesquialteraのためのと関係して、tempusがperfectで、３つのドットがprolatio maiorを示すために使われたという事実の見方を正当化している（例7）。 記号 は、通常のように、sesquitertia（4/3）を示している。Galloは、「論文の書き直しは、14世紀末から15世紀はじめのars subtiliorの理論と実践と結びついていた」と提案する。mensuration記号をproportionsとして用いた他の理論家たちがいる。35 35 Anonymous XIは、sesquitertiaには を、proportio sesquioctava,すなわち、９：８には を、そして、８：３のproportionに対しては を充てている。８：３のproportionは、ここでも、記号〇に対して比べられると、breveのequalityを基礎としている（例８）。 8:3 proportion 彼はまた、proportio sesquiquartaの記号として  を充てている。どちらの記号もproportionも、その他の場所では述べられていない。ｐ416 Hothyらは、breveの等価性を基にしたproportionsを示すためのmensuration記号の同じ設定を正確に使用する15世紀の理論家たちの数をトレースした。ゆえにPEｃの匿名の著者は、proportionsとしてのmensuration記号の一定の使用を行っている。 たとえば、記号 は、minimsの間で9：4のproportionを産生するための記号 の後に使われ（例２a）、記号は、minimsの間の9：8のproportionを産生するための記号〇の後に使われる38（例5）。一方Tinctorisは、proportionsを示すためにmensuration記号を使う作曲家たちには、極端に批判的である。しかし彼は、はっきりと、たとえば、prolatio maiorの記号 あるいは記号によるsesquitertia４：３を通したsesquialtera proportion３：２を示すようなポピュラーな伝統と闘っている。「だが私は、私を使わないでおく人たちのために祈る。なぜなら、こうした記号は、不真面目で誤っているからである」 皮肉にも、Proportionales musicesのひとつのソースの書記は、mensuration記号を通して、sesquialteraのシグナル、すなわち、colorationを伴うtempus imperfectus prolatiomaiorを送っている。しかし、これは、必ずしも、書記が、彼らが書いたことを理解していたことを意味しない。 proportionsとしてのmensuration記号の使用に及んでいるTinctorisの批判は、論文の最後にのみ現れる。書記が彼の誤りを理解しているが、きれいな写譜を保つために誤りを正すことにはあまり乗り気ではなかった。 p417 Giovanni Spataro は、1531年の彼のTractato di musica に、mensuration記号が同じくproportionalな機能を持っていることを示すdiagramを挿入した(Fig.2)。breveはequalityであると想定され、prolatioレベルでのsesquialteraの関係は、Ｃと のminimsの間で見られる。tempusレベルでは、それはとの間（のmnim)で見られる。その間、dupla sesquiquarta (9:4)の関係は、Cとのminimsの間に見られる。 同様に、Pietro Aaron は、1545年の彼のLucidario in musicaにおいて、半円のあとの円の記号は、sesquialtera proportionを示すと主張している。 要するに、我々は、実践的かつ理論的なソースの両方において、mensuration記号を通して、proportionを示す伝統があることを見出した。proportionsは、縮約を示すストローク(縦線）を伴う場合でも、またはそれを伴わない場合でも、基本的なmensuration記号の組み合わせから生じている。そして、breveの長さは一定のままであることを前提にしている。 私たちはさらに、初期の理論家や作曲家は、ほとんど例外なく、表1に列挙されたproportionsしか使わなかったことを見てきた。なぜ 初期の理論家や作曲家は、これらの割合だけを使用したのだろうか？ なぜ後でTinctorisによって記述されたものを使わなかったのか？ 表1のproportionsは何を共通にしているのか？ 14世紀‐15世紀の理論家は、音の間隔系を記述する際に確かに比（fraction)の数を制限することは決してなかったが、代わりにBoethiusに見られるように、全体の設定を提示した。 選択された一過性のproportionsが最も重要な音程間隔に対応していると仮定してもよいが、これは9：4の顕著な出現を説明していない。また、これらのproportionsは、実行するのが最も簡単だったため選択されていなかった可能性もある。 ｐ418 初期の理論家によって記述された比（fraction)はすべて、共通の特徴を持っている。それらは、breveのequalityを仮定したmensuration記号の組み合わせとして示すことができるproportionsであるということである。 最も初期の理論家が、mensuration記号によって示され得るproportionsだけを述べ、それらが示され得るすべての割合を列挙したという事実は、単なる偶然の一致ではない。 私は、proportion記号が、フランス式記譜システムのminimの等価性を無効にするだけでなく、異なるmensuration記号の組み合わせから生ずるあいまいさを回避するために,算術的に正確な表記法を提供することを提案する。 これ（mensuration記号が、真のproportionを示すためにも使われたこと）がいつ、どこで起こったのか？ Gallo (1984, 334-36) は、Franco, MarchettusとJohannes de Muris がどのように、用語proportioを使ったのかを記述している。狭義の感覚からすれば、1321年にNotitia artis muscaeを著したJohannes de Murisに行き当たる。そこで彼は、breveを、同じ長さの２つから９つのsemibrevesに分割することを提唱している。 「歌は、同じ形の2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9の等しいsmibreveからできている」 この概念のもうひとつのソースは、言うまでもなく、異なったmensurationを結び付けることによるsesquitertia や sesquialtera を許容したイタリア式記譜法であった。しかし、イタリア式記譜法は、言うまでもなく、9:4 proportionの発生を許容できなかった。なぜなら、tempus imperfectusは、tempus perfctusよりも1/3短くならなければならないからである。tempus perfectusとtempus imperfectuｍの間のbreveにおけるequalityへの前提はなくなる。 要するに、14世紀後半の作曲家は、Johannes de Murisの書法によって、一部はイタリア式記譜システムによって、proportionsを鼓舞されたのである。 ｐ419 しかし、なぜ彼らは、Ｍｕｒｉｓのシステムから、breveの分割をしようとしたのか？回答は、、当時の記譜法のシステムにある。15世紀初期の比（fraction)の導入以前は、５：３や７：４のようなproportionを示す方法はなかった。作曲家たちは、mensuration記号や異なった音符形、colorationなどの、彼らが使っていたこうしたproportionsを使う以外、方法がなかったのである。 Philip de Casertaに帰せられている14世紀後半の論文Tractatus figurarumの著者は、breveのequalityの元での,変化するmensurationの組み合わせの技法のための適度な記譜法ツールを見つけるためのこうした苦悩について、正確に記述している。 そしてマスターたちは、これらの音符の形 [duplex long, long, breve, semibreve, and minim]と4つの主要なmensurationで私たちに指示を与えました。それでも、彼らは私たちに、[2 2]tempus imperfectum prolatio minorに対して、[3 2]tempus perfetum prolatio minorをどう扱うか、またその逆はどうするのかを教えてはくれませんでした。実行可能なことが書かれておらず、これをはっきりと示すことができないので、私はこの小さな論文を利用することに注意を払ったのです。 この論文の著者は、上記で説明したのとまったく同じproportionsの設定を正確に示すことができるさまざまな音符の形を開発することによって、この問題を克服しようとした。しかし、これらの音符の形は一貫して使用されることはなかった（von Fischer 1956、118 Gallo 1984、336-9を参照）。ウォルター・オディントンは、彼が以下のように言うとき、おそらく最も良い状況を説明する。「音楽の作家と同じくらい多くの新しい音符の形の発明者がいる。」 改訂Boen写本の著者と、CHおよびMod Aの作曲家は、mensuration記号をproportionsに関連付けて、別の道を歩んだ。 しかし、proportionsを示すためにmensuration記号を使用することは問題があった。なぜなら、計量(拍子）記号は通常、minimのequalityと組み合わされていたからである。colorationの使用に固有の問題のいくつか（Apel 1953、I26-44）は、バークレー写本の著者によって永続的に議論された。 ｐ420 このことから、色を変えることによってtempusだけが減価することもあれば、prolatioのみが減価することもあれば、両方が一緒に減価することもあると推測できます。たとえば、colorationで縮約を示したい場合は、矛盾に巻き込まれないように注意してください。 mensuration記号、音符の形、colorationはすべて異なって解釈される可能性があるため、あいまいさを排除することを期待して、それらはしばしば互いに組み合わされ、カノンと組み合わされた。 理論家たちが、proportionsを明白に示すための記譜的なデヴァイスの欠如に悩まされていたことは明らかである。互いのトップに書かれたbinary and ternaryの数は、上がprolatioを示し、下がtempusを示しており、Berkeley Manuscript、Ciconia、Ramis、Burtiusの著者によって記述されていたが、breveのequalityのもとで、mensuration記号を組み合わせる別の試みとして見ることができよう。なぜなら、それらは、比（fraction)例関係を示すために、排他的に保護されていたからである。 proportionsを示すためのこれらのすべての混乱して曖昧な方法を考慮すると、Prosdocimus de BeldemandisとUgolinoによる熱狂によって比（fraction)が迎えられたことも、あながち驚くことではない。Ugolinoは言う。 「fractionには問題はないが、mensuration記号においては、誤りやあいまいさがある。我々は数字をより好む。なぜなら、それを通して、proportionがよりよく示されるからだ」45 われわれが知っているように、これはUgolinoや彼の音楽を記譜した書記たちが、彼の作品内のproportionsを示すために、mensuration記号の使用を禁じることはなかった。 1４20年代に完成したトリノ写本（Tn）は、fractionの導入が、計量システムにおいて固有ではない、すなわち、２と３で分割できないproportionの使用を導く結果となったという仮説へのさらなる証明を供与している。46 ｐ421 コレクションには、5と7の数字を含むfractionを含む、以前のレパートリーにはないいくつかの作品が含まれている。47 どのようにこれらの比（fraction)のすべてがお互いに関係していたのか？proportionsは積であったのか、むしろ元々のmensuration記号に関連していたのか？ 比（fraction)がmensuration記号から進歩した代替として導入されたと考えることが有用であれば、mensuration記号が重積とはならないように、比（fraction)もまた重積とはならないことが論理的であるように思われる。 ModAとCHに出てくるすべての数値的なproportionsの研究は、この見解を支持している。proportionsは重積はしないようである。 我々は、2つの種類の数字記号を区別する必要がある。 第１に、多岐にわたる、あるいはある数とそれに１を足した数の関係のproportionを示す単一の数値、たとえば、2：1のproportionsを示す2、または3：2のproportionを示す3。第２に、比（fraction)である。 どちらのタイプもModAとCHにあり、前者はしばしばカノンがあり、後者は常にカノンがなく、どちらのタイプも常に先行するmensuration記号と関連し、決して別のproportionには関係しない。 同様に、UgolinoとHothbyの作品の比（fraction)は決して累積しない。 （2人の作曲家のどちらも、その論文の問題点について議論していない） ｐ422 Anthonello de CasertaのAmour m'a le cuer mis（例9参照）の最上声部は、おそらく問題を最もよく示している。この作品は、tempus perfectus prolatio minor〇において始まる。 第８小節での9：6のproportionより、９つのminimsは６つのそれと等価となる。第13小節において、 4：2のproportionが書かれており、それは直前のセクションに関連していない。つまり、9：6の割合で乗算されない。算術的には正解であるが、しかし、tempus perfectus prolatio minorの最初の記号〇とは関係している 。  対照的に、TinctorのProportionale musicesにおけるあらゆる例は、積となる。彼は、読者にproportions は、ひとつあるいは同じ声部での先行する数への比（fraction)較によって、あるいは、その他の声部の音符との比較によって関係している、と注意を向けている。 彼の例の1つ（例10）において、discantは2：1のproportionで、（その後に）3：2のproportionが続いている。 3：2のproportionは、最初のtempus perfectusとは無関係であるが、2：1のproportionとは関係がある。その結果3:1のproportionとなる。（2/1×3/2=3/1) ｐ423  Gaffuriusは、おそらく、どのようにproportionsが連続していくかについての、もっとも明瞭な定義を与えている。 それぞれ連続していくさまざまなproportionsは、直接、先行するproportionに従って計算される。たとえば、proportio tripla（3：1)にproportio dupla（2：1)が続けば、proportio sextupla（6：1)となる。 ｐ424 それゆえ我々は、fractionsは、proportionを示すために、正確かつあまり曖昧ではない記譜法のシンボルを音楽家に供給するために導入されたと結論づける。 音楽家がfractionsを算術的に正しい方法で使用することを学び、mensuration記号への代用としてその起源を忘れるためには、ほぼ100年もかかった。 mensurationシステムの他の多くの側面と同様、偉大な理論家であり改革派でもあるTinctorisとGaffuriusもこの変化を開き、mensuration記号からそのfractionを解放した。 この点は最後の疑問と密接に関連している。すなわち、proportionにおけるmensurationは、それ自身、proportionから由来するのか、あるいは先行するmensuration記号から由来するのか？54 54 Willi Apel (1953, The Notatioof Polipyonic Music 900-1600 ｐ150)は、この問題を認識した唯一の学者である。彼は、proportional な計量は常に、元の計量よりも優先される、と想定している。 mensuration記号と交換してproportionsを使用するこれらの理論家たちが、proportion記号自身からproportion部分のmensurationを決定すると想定することは、理にかなっていることと思われる。なぜなら、proportionsが生じたであろうmensuration記号は、オリジナルなmensurationを変化させ，proportionsもまた同様にそうなるからである。ProsdocimusとUgolinoの両者のステートメントは、私たちの仮定がまったく正しいことを示している。Prosdocimusは以下のごとく述べている。 同様に、このような音符は、最初の章で述べたmensurationに戻されなければならないことを知っておく必要がある。 sesquialtera proportion(３：２)で歌われる縮約された音符に対しては、mensurationのperfctionsに戻されなければならない。完全であろうと不完全であろうと、黒色符が白色符になろうと、変化されようと、要は、mensurationの真のperfectionを保つ音符に許容され得るあらゆるものは許される。 Ugolino（1960,2 Io）も同様の発言をしている。 したがって、HothbyのモテットOra pro nobiss56では、C記号でのパッセージが続く6：4セクションがsemibrevesをperfectにすることは驚くことではない。 56 Hothbyはしばしば、縮約のみならず、それぞれのレベルでの正確なmensurationを示すmodus記号  を使うことによって、proportion記号の後のmensurationに関する混乱を避けた。Guilielmus Monachusはまた、mensurationが、先行したproportion記号から導き出されることを明確にしている。 sesquialteraの演奏に関する彼のコメントでは、次のように主張している。 ｐ425 Sesquialteraは、tempus perfectus prolatio minor 〇では、minimsが、tempus imperfectus prolatio maior のminimsのように３（拍子）で数えられることを要求する。同様に、minimsはsemibrevesの前ではアルテラ化され、そこで、semibrevesはminimsの前で不完全化される。そして、３つのminimsは、通常のsemibreveの単一のmensuraに置き換えられる言い換えれば、mensurationはprolatio minorからprolatio maiorへと変化し、semibreveは、完全になる。 proportionsにおいて元のmensurationを維持しなければならないと主張する最も初期の作家は、mensuration記号からfractionsを取り除いたのと同じ理論家であるJohannes Tinctorisであるが、彼は、1474年頃の著作Proportionale musicesで、以下のように主張する。 特定のproportionにおいて、我々は、それがどのようなmodusだろうか、どのようなtempusだろうか、どのようなprolatioだろうか、を考慮しなければならないことが注目されねばならない。なぜなら、ある種のproportionsは、 duple, quadruple等でbinaryであり、triple, sesquialtera等でternaryであり、 sextuple,sesquialtera等では双方であり、sesquiquarta, superbipartiens tertias等ではどちらでもないからである。しかしながら、それらが作られる量の性質を変えることはできない。proportionがbinary, ternary か、両者か、いずれでもないかにかかわらず、音符は常に、 modus, tempus, and prolatioの記号についての完全か不完全かに従って計算されなければならない。 ｐ426 要するにTinctorisは、より初期のすべての理論家に反対して、proportionalな記号のもとでの元のmensurationの維持を忠告した。59 しかし、Tinctoris自身の例は彼が概念化した規則に従っていない。proportio triplaにおいて（例11a)、彼はもとのmensurationＣをそのままに保っている。なぜなら、triplemensuration（3/1）が、１つの不完全breveに対して、３つの不完全brevesを占めているからである。しかしＣ記号に続くsesquialtera（3/2)においては、もとのmensurationを保つことは、より困難である。 Tinctoris以前、理論家や音楽家達は通常、Ｃ記号の２つのsemibrevesを、sesquialteraの３つのsemibrevesに置き換えていた。 しかし、これは、tempus perfectusという結果になった。  もとのmensurationを保つ唯一の方法は、２つの不完全brevesを３つのそれと置き換えることであった。 このGaffuriusの解決法は、すぐに現れた。しかし、3/2（のmensuration）が続くC記号のTinctorisの例は、breveを完全にする。sesquialtera部分が、別の声部にC記号が割り当てられたやり方においてすでに明らかなように。（例11ｂ）。 もしも、この例が、imperfect sesquialter化したbrevesに再グループ化したならば（例11ｃ）、最後の3連符は完全化しないことだろう。 同様に、もとのmensurationの保持は、sesquialteraが続く のTinctorisの例(例11d)では、不可能である。なぜなら理論家は、３つのsemibrevesのみ（あるいは１つの完全breve)を使うからである。我々は、sesquialteraを、tempus perfectusとして解釈しなければならない。 ｐ427 要するに、Tinctorisは、彼のテキストでその実践を主張したにもかかわらず、彼の例では、コンスタントには、元のmensurationを保存していなかったと結論づけられる。伝統的かつ当時の実践が強すぎるため、彼は自分のルールに常には従うことができないと感じていた可能性がある。 Tinctorisの最も重要な後継者であるFranchinus Gaffuriusも元のmensurationを一定のproportionで維持することを要求している。彼はtempus imperfectusに彼の規則を適用する点において、Tinctorisよりも一貫性がある。 私はまた、3番目のsesquialteraを見ても、alteration とperfectionが音符のaugmentation であると思っていて、不合理なtempus perfectumの代わりにtempus imperfectumを、prolatio majorの代わりにprolatio minorを書いていると思われる多くの作曲家の不適切な実践を認めない。sesquialteraは容易に、縮約として理解される。 完全breveとアルテラ化されたsemibreveは、tempum perfectumにおいてのみ見いだされる。その適当な記号は〇である。完全semibreveとアルテラ化されたminimは,prolatio maiorにおいてのみ見出され、その適当な記号は、tempusの記号内に点を打ったものである。tempus imperfectumにおいては、半円で示され,breveは常に、２つのsmibrevesから成る。通常（integer valor)かproportio diminutaにおいて、semibreveは、アルテラ化によってその音価が増大することはない。 言い換えると、「 proportio sesquialteraが不完全mensurationにおいて生じると、すべての音符と休符は不完全になる」。61 これは、例12aではっきりと示されている。 Gaffuriusが、tempus imperfetumにおいて、sesquialtera proortion内での完全化を企てる場合は、彼は、proportion記号に  を加えることになる。(例12ｂ）62 ｐ428 ＜まとめ＞ 15世紀の理論論文においては次のような発展を辿ることができた。最初に、proportion記号に続くmensuration譜は、比（fraction)によって決定された。なぜなら、fractionは（proportion記号ではなく）mensuration記号を代替したからである。 mensuration記号と比（fraction)の間の機能をはっきり分離をした最初の理論家は、（15世紀後半の）Tinctoris (1435年ごろ - 1511年）とGaffuriusであった。両者は、比（fraction)の機能はmensurationではなく縮約レベルだけであることを示した。この改革と密接に関連しているのはもちろん、proportionsは積でなければならないという斬新な考えであった。 結論として、私は以下のシナリオを仮定したい。 brevesを２〜９で均等に分ける考えは、1321年に、Johannes deMurisによって導入された。これは、4つのArs nova prolationesの複数を、１つの作品で使うことを欲した音楽家に対して、、彼らが互いに、一定の長さを保つbreveを関連付けることができることを示唆した。 実際、1４世紀の後半の理論家と作曲家は、breveの等価性を前提として、さまざまなmensuration記号の組み合わせによって示されたbreveのこうした分割のみを取り上げていた。その他のproportionは使われなかった。なぜなら、音楽家は、それらを表現する記譜のツールを持っていなかったからである。 リズムのproportionsを示すための（15世紀後半での）比（fraction)の使用は、真の革新であった。（数字を使うことで）すでに使われていたproportionsの曖昧な記譜法だけでなく、当時のmensuration記譜システムに本質的に内在していないproportionsを徐々に含めることも可能にした。 p429 しかし、15世紀前半では、比（fractions)は、あたかもそれらがmensuration記号であったかのように使用されていた。つまり、先行者らのように、mensuration記号は、積というよりも自分自身の権利で、mensurationを決定した。 （15世紀後半の）TinctorisやGaffuriusらの理論家は、mensuration記譜から比（fraction)を解放し、これらの比（fraction)を算術的に正しい方法で使用するようになった。結果的に彼らは、breveのequalityの下で、様々なmensuration記譜の組み合わせからでは生じなかったものを含むようにproportionsの数を拡大することができた。そのために、リズムのproportionsのシステムは、ハーモニーのproportionsのシステム同様豊かになる可能性があった。 作曲家たちが、明白にproportionsを明示するための記譜のツールを求めていた14世紀後半から15世紀初頭にのみ、精巧なproportionsを使った音楽を書いたことは謎である。（15世紀後半にティンクトーリスらによって）比（fraction)がproportionsに関連付けられると、作曲家たちは精巧なproportionsで音楽を書くことに関心を失い、全体の問題は理論的なイシューとなっていった。 |